Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 139 



Die 60 Polarcorrelatioiien zerfallen in die beirten Grruppen von a) 24 

 mit reellen Basisflächen F*"' und b) von 36 mit imaginären Basisflächen 

 F^-^; die Vertheilung- der Substitutionen in tetraedrischen Coordinaten auf 

 die Fundamentaltetraeder ist dieselbe wie für die 60 Substitutionen unter 

 A 1) dieses §, welche centrisch-involutorische Collineationeu bedeuteten. 



2) Die 12.15=180 Substitutionen, bei welchen die beiden ver- 

 tauschten Elemente eines Paares gleiches, die vertauschten Elemente 

 jedes der beiden anderen Paare entgegengesetztes Vorzeichen haben, 

 bedeuten vierzählige Axencorrelationen und zwar der zweiten Art 

 (vgl. § 9 II A 3), Formeln (70)). Die beiden sich involutorisch entsprechenden 

 Axen sind, wie für die in § 13 unter B 2) betrachteten vi erzähligen Axen- 

 correlationen der ersten Art, je ein Greradenpaar e; die Mittelpunkte und 

 Ebenen der festbleibenden Strahlbüschel je ein Punktpaar c der einen und 

 je ein Ebenenpaar t der anderen Axe. Die Gleichungen der beiden in sich 

 transformirten Complexe, der in sich auf die zweite Art transformirten 

 Flächen 2teii Grades sind aus den Formeln (70) zu entnehmen. Von den 

 4 zusammengehörigen Substitutionen, deren Axenpaar und Haupttetraeder 

 dasselbe ist, entsprechen sich je zwei als 5* und S^ während S'^ für beide 

 die geschaart-involutorische Collineation mit dem Axenpaar c darstellt. Z.B.: 



Mittelpunkte Ebenen 



der Strahlenbiischel : 



S = [Xi Xi Xi -Xi -xe Xs] = [-2 1 4 3]i = [ -2 1 4 3] i[ e3...O01O f3...0010 



S» = [x-i xi ~X4 X3 X6 -a-s] = [2 -1 4 3], == [ 2 -1 4 3| t| e4 ..0001 f4 ... 1 



S = [x-2 xi -Xi Xa -Xti Xi] = [2 1 -4 3]i = [ 2 1 -4 3] i| Ci ... 1 tj ... 1 (87«) 



S'i = [x2 xi Xi -xs X6 -Xi] = [2 1 4 -3ji = [ 2 14 -3] iJ ea ... 1 e-, ... 1 

 ,52 = [xi Xi -X3 -Xi -Xi -a-e] = [12-3 -4]i. 



Die Axen sind: (12) .... 1 +/ 0, die in sich transformirten 

 Complexe: .r, -|-.r.2 = 0, .r, — .r2 = 0; ZU den auf die zweite Art in sich trans- 

 formirten Flächen gehören die 4 Fundamentalflächen F^^'>: f'^W F^l\ F'i\ 

 F^l^ und 6 Flächen F^'^\ z.B.: 



Sa-r- + {x;+x,r- + {Xi+xS- = 2.To^ + (x,-x,r- + ixi~x,y =01 



2 .r, 2 + ix,-x,y + (.r,,-.r,)2 = 2 x.{^- + (x, + x,)-' + ix, +.r,02 = ) ^^ ""> ''■ '• *" 



Die 180 vierzähligen Axencorrelationen zerfallen in drei Gruppen 

 von a) 72 Correlationen, für welche die Mittelpunkte und Ebenen der Strahl- 



