146 Edmund Hess, 



und eine der 240 Flächen FO) (§ 7 7)): 



2(— X|+,r, + aV)2 + 3Gr., + .r4y^ + 6a-62 = . . . {896"). 



Die 8 . 120 = 960 özähligen Collineationen zerfallen in drei Gruppen. 

 Da jedes der 80 imaginären Geradenpaare ^o 6 mal, jedes der 72 reellen 

 und der 168 imaginären Geradenpaare d^ 4 mal und jedes der 48 reellen 

 und der 432 imaginären Geraden])aare l einmal als Kantenpaar auftritt, so 

 entstehen drei Gruppen von Haupttetraedern: 



a) 48 Hanpttetraeder mit einem imaginären Kantenpaar /.„, einem 

 imaginären d„ und einem reellen l, b) 144 Haupttetraeder mit einem imagi- 

 nären Kantenpaar I-q, einem reellen f?c und einem imaginären l, c) 288 Haupt- 

 tetraeder mit je einem imaginären Kantenpaare Jc„, do, l, während sämmtliche 

 1920 Eckpunkte l)^o^^ = i*o^ (Seitenflächen {^f^ = /o^) imaginär sind. Die 96 

 reellen Substitutionen, welche der ersten Gruppe a) entsprechen, entfallen 

 bei ihrer Darstellung in tetraedrischen Coordinaten zu je 4 . 8 auf die Tetra- 

 eder T4 . . Tg, die 2884-576 imaginären Substitutionen der beiden Gruppen b) 

 und c) zu je 8.6 auf die Tetraeder T.,, T^, zu je 8.8 auf T^ . . T^, zu je 

 8 . 12 auf T-j . .T<j und zu je 8 . 6 auf T,o • ■ T,,,. 



2) Die 8 . 120 = 960 Substitutionen, bei welchen die beiden ver- 

 tauschten Elemente a-i^, -r^^ entgegengesetztes Vorzeichen haben, während 

 die Gesammtzahl der negativen Vorzeichen ungerade ist. bedeuten zwülf- 

 zählige Collineationen und zwar auf eine Art eigentliche (vgl. § 9 

 I B unter 4)). Das Haupttetraeder für vier zusammengehörige Substitutionen 

 S, 5'i', ^S^ S'i ist dasselbe wie für die beiden Substitutionen S-, >S''», welche 

 zwei zusammengehörige, auf zwei Arten eigentliche, sechszählige Colli- 

 neationen bedeuten (vgl. § 12 A 2)); die Eckpunkte (Seitenflächen) sind vier 

 Punkte iff=\^l^ (4 Ebenen {^f = g,^'^'^), die Kantenpaare je ein Geradenpaar 

 yto, e und h (vgl. (36j') und (36d) in § 8 I 8)). Für das folgende Beispiel: 



S = [-X, X, -X, -X. .T, .rg] = [14-2 3]4 _ r r 1 - Fl 4 2 ^1 



i~r '''''%- f.l,^^}^\S^^=V-x,~x,-x,-x,x,x,;\ = [A 2 1 3],, 



>^ ' = [-X3 ~Xi -x-^ Xi a;, x^] = [324 -1]4 * 



S'ii= [x.^ -Xi -Xi x-i -X'i .Tu] = [312 -4]j I Ä" = [ar, -r. .T3 -.1-4 .1-5 x^ =[4-32 -I], 



A3 = {x^ -X4 a;3 Xt x-^ .Te] = [3 4 -1 2]„ \ 8^ = {-x^ x^, -x--, x^ .r, x^ =[3-12 -4jj 



59 = \x, X, Xi -x^ X, x,] =[214 -3],; I Ä8 = [X, X2 -xi .r4 -X, X,-] =[32-4 -1];, 



erhält man für die Coordinaten der Elemente des Haupttetraeders die in § 8 

 HI 5) in den Formeln (535^) und (53/) angegebenen Werthe. 



(89£) 



