162 Edmund Hess, 



Aus der Haiiptg'mppe G720 ergeben sich 10 zii einander conjugirte 

 Gruppen G-^ (bez. ö[fe); bei der Transformation einer jeden bleibt eine der 

 10 Fundamentalflächen F^^^ in Ruhe. Je zwei dieser Gruppen z. B. 6^20 

 und G^2^ (welche bez. zu F'^I^ und F^V gehören) haben (als Durchschnitt) 

 eine Gruppe Gg gemein, deren Substitutionen sind: 



A) 



S = (Xi Xi) {X3 Xi Xs Xe) 

 ^2 = (a-3 rj) {xt Xi) „. 



S^ = (n Xi) [xs xe X5 Xi) ' 



«■'= 1 



{Xi .rs) 



(Xi.Tc), 



{Xi Xi) {Xz Xi) {Xi Xi) 



{Xi Xo) {Xi Xi) {Xi xi). 



Die 4 Collineationen A) stellen eine vollst<ändige vierzählige Collineation 

 (§ 15 A) 1)) dar und bilden eine Gruppe G^'^}; die Correlationen B) bedeuten 

 2 Nullcorrelationen (§ 17 B) 2)) und 2 Polarcorrelationen (§ 18 B) 1)). 



Auf weitere Untergruppen der Hauptgruppen (T720, z. B. auf die 

 algebraisch wichtige und interessante Untergruppe G^o') soll hier nicht ein- 

 gegangen werden, ebensowenig auf diejenigen Gruppen, welche dadurch 

 resultiren, dass von den 6 Elementen x.^ nur 5 oder 4 u. s. w. permutirt 

 werden. 



II) Von besonderer Wichtigkeit in geometrischer Beziehung sind die 

 in der Hauptgruppe G^-ma enthaltenen Gruppen von 2304 Substitutionen, ' 

 welche 1152 Collineationen und ebensoviele Correlationen bedeuten und 

 wobei die ersteren eine invariante Untergruppe G^i}^ bilden, nebst zahlreichen 

 in diesen enthaltenen Untergruppen. Durch die Transformationen einer 

 solchen Gruppe 6^304 (bez. G/f^l) geht eine der 10 Fundamentalflächen -F^^ 

 in sich über, während die beiden Systeme von je 3 desmischen Tetraedern, 

 welche in Beziehung auf eine solche Fläche sich selbst conjugirt sind,-) in 

 der allgemeinsten Weise vertauscht werden. Diese Gruppen nebst mehreren 

 der in ihnen enthaltenen Untergruppen sind von verschiedenen Gesichts- 

 punkten aus mit Rücksicht auf bestimmte Anwendungen bereits betrachtet 

 worden.'^) Wir werden im Folgenden sehen, wie aus einigen derselben 



Vgl. Cayley a. a. 0. S. 82 ff, Serret Algebra IL S. 250 ff. 



2) Vgl. A, § 5. 



3) Vgl. E. Study: Zur Theorie der Kummer'schen Configuration und der orthogonalen 

 Substitutionen. Ber. der K. siichs. Gesellsch. d. Wissensch. 9. Mai 1892; ebenso E. Study: 

 Sphärische Trigonometrie, orthogonale Substitutionen und elliptische Funktionen. Leipzig 

 1893. I. und 11. Abschnitt. 



