Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 167 



Eine invariante Untergruppe (der Durchschnitt) dieser drei Gruppen, 

 nämlich GUi (bez. G*J^'), enthält die Substitutionen unter 1), 2a); 6d): durch 

 die Transformationen dieser UntergTuppe geht jedes der 3 Tetraeder T,, T.2, T^ 

 einzeln in sich über. 



Endlich ist in allen vorhergehenden Gruppen eine invariante Untergruppe 

 G^li (bez. G^ll') enthalten, welche die Substitutionen unter i) umfasst; dieselben 

 bedeuten ausser der Identität 9 + 6= 15 geschaarte Involutionen, sowie 6 

 Null- und 10 Polar-Correlationen. Bei den Transformationen dieser Gruppe 

 bleiben alle 6 Tetraeder T^..Tc einzeln in Ruhe. Untergruppen dieser 

 Gruppe sind schliesslich drei Gruppen Gg (bez. G'^'), bei deren Transforma- 

 tionen bez. die Ecken von T^, von T^, von Ts einzeln in Ruhe bleiben.') 



III) Die unter II) betrachteten Untergrup])en ergeben sich natürlich 

 ebenso aus jeder der 9 übrigen Hauptgruppen Gii^i (bez. G^^i-i), bei deren 

 Transformationen die Fundamental tiächen F'l^ (Z; = 2, 3 . . . lO) in Ruhe bleiben. 

 Der Durchschnitt aller dieser 10 conjugirten Hauptgruppen ist die unter 

 II) zuletzt betrachtete Untergruppe Gl,!,' (bez. G^\'r'). 



Der Durchschnitt zweier der 10 conjugirten Hauptgruppen, z. B. 

 von G:^^ (Gi'}!y und von G.^l^ (G.'i^y ist eine Gruppe G.,-,, (bez. GJ^U,') deren 

 Substitutionen aus folgenden 8 Permutationen resultiren: 



1) (-x-i) (?',) '6a) (.ivr>)(.r,.Tj)Gr,.rJ. . . (T,) 



(Gase) 



3a) (.r3 arj) (a;4 a;6) . ... (T,) \^A) (x,x.^ {x.,x^){x,xd ■ ■ • (T,) 

 5 a) {xix.2)ixsx^x-^x^) . . j T) '^^^ (-^3 Xö)AXi x^) (^4, Ti) 



(X| X-i) (X'i Xg 0:5 X4) ■ • ) 



Durch die Transformationen dieser Gruppe gehen die beiden Tetraeder T, 

 und T4 in sich und in einander über; die durch dieselben bestimmte Con- 

 figuration: (8^2+2, 21 + 8^ + 8^, 81^'^% 



deren Configurationsgeraden 2 Gerade e, 8 Gerade d^ und 8 Gerade d sind, 

 wird durch die Transformationen in sich übergeführt. 



Solcher Gruppen G^jg (bez. G/aO giebt es im Ganzen ('i') = 45; je drei 

 derselben, z. B. die zu den drei Tetraederpaaren 'A, Tf, Ti, T-,-, Ti, Te (den 

 Flächenpaaren F^\\ F^^: F'l\ i^<^'; F'\\ F^\') gehörigen haben eine Unter- 



') Vgl. § 11 A) 3) und E. Study: Sphär. Trigonometrie u. s. w. § 8. 

 2) Vgl. E. Study: a. a. 0. unter III. 



