168 Edmund Hess, 



gruppe Gc4 (bez. G^o') gemein, deren Substitutionen die in G^^^ unter 1) und 

 6 a) aufgeführten sind. Auch bilden die in Gjje unter l), 3a), 6a), 6d) für sich 

 eine Untergruppe Gu., (bez. G^^l), durch deren Transformationen, ebenso wie 

 bei der vorhergehenden, das Tetraeder Ti in sich übergeht. 



IV) Auf die Aufstellung und geometrische Deutung weiterer Unter- 

 gruppen, wie z. B. der den sämmtlichen in den §§11 bis 21 betrachteten 

 cyclischen Permutationsgruppen entsprechenden, soll hier nicht näher ein- 

 gegangen werden, da dieselbe sich aus den obigen Resultaten und Auf- 

 stellungen ohne Schwierigkeit entnehmen lässt. Es möge nur noch kurz 

 die geometrische Bedeutung der erzeugenden Substitutionen, aus welchen 

 sich diejenigen der Hauptgruppe zusammensetzen lassen, hervorgehoben 

 werden. 



Betrachten wir die allgemeinste Collineationsgruppe Gi[%20 mifl die 

 ausgezeichnete Untergruppe Gj^^^, derselben, von welcher die Gruppe G'^li 

 wiederum eine ausgezeichnete Untergruppe darstellt.'). Die Substitutionen 

 von Gj'^eo ergeben sich durch Combination der Untergruppe G'^%, welche den 

 positiven Permutationen der -ri entspricht, mit der Untergruppe Gf^. Die 

 Permutationen von GIZ lassen sich aber vollständig durch die beiden drei- 

 und fünfzähligen cyclischen Permutationen : ^) 

 S' = (.r, .r., .Ts) = [2 4-1 -3], 

 T' = (Xi X3 Xi a.-5 a-j) = [3 -1 -2, 4,]-) 

 erzeugen, von denen die erstere eine dreizählige geschaarte (vgl. § 12 A 1)), 

 die andere eine fünfzählige allgemeine Collineation (vgl. § 16 A) bedeutet. 

 Die übrigen Substitutionen von G/f^joi welche den negativen Permutationen 

 der Xi mit den negativen Vorzeichencombinationen entsprechen, resultiren, 

 wenn die Substitutionen von G^yl^ noch mit der einen Substitution U in allen 

 Combinatiouen verbunden wird: 



U = [-To .r, 0:3 0-4 a-j .Tß] = [12 -3,- -4,], , 

 welche eine vierzählige geschaarte Collineation mit Axenpaar e bedeutet 

 (vgl. § 17 A 2))). 



Ebenso leicht lässt sich die geometrische Bedeutung der vier anderen 

 von Maschke') angegebenen erzeugenden Substitutionen: 



') Vgl. H. Maschke a. a. 0. Die Gesammtzahl der Substitutionen der Haupt- und 

 Untergruppen ist bei Maschke aus einem bereits erwähnten Grunde die vierfache der im 

 Texte angegebenen.» 



