Weitere Beiträge zur Theorie der riiumlichen Confignrationen. 169 



(A) . . . . [X3 Xo Xi -Xi -x^ -x^] = [241 3]6 



iB)=U . . [-x.x^XiX^x^x^] = 1 1 2 -3,- -4,], 



(C) . . . . [Xg -Xf, Xi -Xz X.2 -Ti] = [143 2]| 



(-D) . . . • [Xi -x^ -Xi X3 a-6 -0^5] = [1 2 -3 4]i 



feststellen. {A) bedeutet eine geschaart-involutorische Collineation mit Axen- 

 paar f?o (vgl. § 17 A i))), (ß) ist mit U identisch und (C) und (D) bedeuten 

 zwei ceutrisch - involutorische Collineationen mit bez. e^ (sn) und Cg fe) als 

 Centrum (Homologieebene). (Vgl. § 18 A i))). 



§ 24. 



Uebertraguiig einer Rauiufigur auf den dreidimensionalen 



spliärisehen Raum (die Hypersphäre). 



Entsprechend der durch Centralprojection erhaltenen Abbildung einer 

 ebenen Figur auf eine Kugeliläche, deren Mittelpunkt das Projections- 

 centrum ist, lässt sich auch die Centralprojection ehier Figur des drei- 

 dimensionalen (ebenen) Raumes auf einen dreidimensionalen sphärischen 

 Raum (eine sog. Hypersphäre) betrachten, welcher das Projectionscentrum 

 zum Mittelpunkt hat. Hierbei entspricht jedem Punkte des ebenen Raumes 

 ein Punkt und dessen Gregenpunkt, jeder Geraden ein Hauptkreis und jeder 

 Ebene eine Haupt- (Diametral-) Kugel des sphärischen Raumes. Aus einer 

 bestimmten räumlichen Configuration entsteht demnach eine entsprechende 

 Configuration von Punkten, Hauptkreisen und Hauptkugeln des dreidimen- 

 sionalen sphärischen Raumes; z. B. aus einem ebenflächigen Tetraeder ein 

 sphärisches Tetraeder (und dessen Gegenfigur), dessen vier Hauptkugeln 

 den sphärischen Raum in 16 Tetraeder zertheilen, von welchen je 8 in 

 jedem der 8 Punkte zusammenstossen. Sind speciell diese vier Hauptkugeln 

 zu einander senkrecht, so resultirt das durch 16 congruente reguläre Tetra- 

 eder (deren Seitenflächen Kugeloktanten sind) gebildete reguläre sphärische 

 „Zellgewebe", welchem das reguläre (linear begrenzte) Sechszehnzeil 

 des vierdimensionalen Raumes ein-, das reguläre Achtzeil umgeschrieben 

 ist.') Die Mittelpunkte dieser 16 regulären Tetraeder liefern durch Haupt- 



1) Vgl. z. B. V. Schlegel: „Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde. " 

 Nova Acta der ksl. Leop.-Carol. Akademie. Bd. XLIV Nr. 4, sowie des Verf. Abhandlungen; 

 „Beiträge zur Theorie der mehrf. perspectiven Dreiecke und Tetraeder". Math. Ann. Bd. 28 

 S. 252 ff. und „Ueber reguläre Polytope höherer Art." Marburger Ber. 1885 Nr. 3 Mai. 



Nova Acta LXXV. Nr. 1. 22 



