Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 171 



§ 25. 



Uebertraguiic; einer ebenen Figur auf eine Kugelttäche 



durch Centralprojection. Collineationen und Correlationen der 



regulären Oktaeder-Hex.ieder-Gruppe. 



Zunächst möge der Analogie wegen und zum Zwecke eines besseren 

 Verständnisses kurz die Centralprojection derjenigen ebenen Figur auf eine 

 concentriscbe Kugelfläche betrachtet werden, welche die regulären sphärischen 

 Netze der Oktaeder-Hexaeder-Gruppe liefert. 



Es werde die Figur eines vollständigen ebenen Vierecks 

 mit den Eckpunkten C,, C-^, Cj, C4. 



„ „ Seitenpaaren &i, 64; ^^21 ^5; ^3i öfi; 



„ „ Diagonalpunkten Ai, A-,, J.» und den Diagonalen 01, a,, a-^- 

 „ „ Schnittpunktpaaren 5,, Bi, B-^, B-,; B,,, B^ 

 der Seiten mit den Diagonalen von einem ausserhalb der Ebene liegenden 

 Punkte aus auf eine concentriscbe Kugelfläche projicirt. Alsdann ent- 

 sprechen jedem der 3 Punkte A, der 4 Punkte C, der 6 Punkte J5 je 2 

 (als Gegenpunkte zusammengehörige) Punkte, jeder der 3 Geraden a, der 

 6 Geraden l je ein Hauptkreis der Kugelfläche. Diese 3 -f- 6 Hauptkreise 

 bedingen eine Eintheilung der Kugelfläche in 48 sphärische Dreiecke mit 

 je einem Eckpunkte A, B, C; in der Figur dieses sphärischen „harmonischen 

 Hexakisoktaedernetzes"') treten die bekannten harmonischen Beziehungen 

 in der Figur eines ebenen vollständigen Vierecks entsprechend auf. Ebenso 

 entsprechen den 24 Collineationen und den 24 Correlationen, durch welche 

 die ebene Figur in sich übergeht, bezw. 2 . 24 Collineationen und 2 . 24 

 Correlationen, durch welche die sphärische Figur in sich oder in die polar- 

 reciproke übergeht; diese Transformationen lassen sich endlich auf die im 

 weiteren Sinne gleicheckigen und gleichflächigen Polyeder übertragen, 

 welche einem im Allgemeinen durch 2 . 24 homologe Punkte bestimmten 

 sphärischen gleicheckigen Netze bez. ein- oder umgeschrieben sind. Durch 

 collineare (bez. reciproke) Transformation lassen sich die Netze des har- 

 monischen Hexakisoktaeders in die speciellen regulären überführen, denen 



') Vgl E. Hess: Einleitung in die Lehre von der Kugeltheilung. Seite 420 ff. 



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