172 Edmund Hess, 



die im engeren Sinne gleicheckigen und gleichflächigen (speciell regulären) 

 Polyeder der Hexaeder-Oktaedergruppe bez. ein- oder umgeschrieben sind. 

 Sind X, y die rechtwinkligen Coordinaten eines Punktes der betrach- 

 teten ebenen Figur (oder ^,, ä,, % die homogenen Coordinaten desselben 

 z. B. in Beziehung auf das Dreieck Ai A2 A3) und liegt der Mittelpunkt 

 der Projectionskugel im Abstände gleich der Längeneinheit von der Ebene, 

 so dass die Kugel die Ebene im Punkte 0', dem Anfangspunkte des recht- 

 winkligen Coordinatensystems berührt, so sind die Coordinaten ji, gj) h ^^^ 

 projicirten Punktes 31 (und des Gegenpunktes M') in Beziehung auf ein 

 rechtwinkliges System mit dem Anfangspunkte 0, der Ss'-A^^e 00' und den 

 bez. zur O'X und OT parallelen 3r und 32-Axen: 



31= ± 



V^-+y-+i 



32= + 



\/x^+y-i+l 



1 



\/x-^+y^+l 



oder bei Benutzung 5i — ±1/^,2+^^2+^32 

 homogener Coordinaten z^ 



(91«) "^ 0^ = ± , 



^„^.„.-3 "^l/^.^-l-^i^-t-^a^ 



^3 

 33 = ± 



(91(3) 



wo das obere und untere Vorzeichen immer für alle drei Coordinaten §1, I2, §3 

 gleichzeitig zu nehmen ist. Werden zur Vereinfachung die homogenen 



Coordinaten ^■i, z-i, z^ eines Punktes der Ebene mit , --= multiplicirt, 



so dass die Quadratsumme = 1 ist, so wird einfach 



m = ± ~'i j 



32 = ± ^i [ • . (91y), 



äs = ± ■£'3 ' 

 wobei 5, = cos(OJi, 03,), 3, = cos (Oilf, 03.3), 53 = cos (OJf, 02,,) ist, und die 

 Transformationsformeln für die sphärische Figur sind — abgesehen vom 

 doppelten Vorzeichen — denjenigen für die ebene Figur entsprechend. 



Um die aus der oben betrachteten Figur durch centrale Projection 

 entstehende sphärische Figur des harmonischen Hexakisoktaeder- Netzes in 

 die specielle reguläre überzuführen, kann man, statt die collineare Trans- 

 formation der sphärischen Figur auszuführen, auch einfach von der speciellen 

 regulären ebenen Figur ausgehen, bei welcher die Eckpunkte C,, C^ C3, C4 

 des Vierecks denjenigen eines Quadrats von der Seite 1 entsprechen und 

 der Mittelpunkt dieses Quadrats (der Punkt ^3) der Berührungspunkt der 



