Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 175 



wendung-en) um die 3 Symmetrieaxeu At Äi\ AiÄo', AiÄs'-^ 1) • • 'i) Ijüden 

 die sog. Vierergruppe); 5). . 10) sechs 2zählige Drehungen (Umwendungeu) 

 um die 6 Symmetrieaxeu Bi B^' . . . B^ B^'; 11) . . 16) 3 . 2 = 6 4 zählige Dreh- 

 ungen von 90° und 270» um die Axen Ai Ai'; 17) . . 24) 4.2 = 8 3 zählige 

 Drehungen von 120° und 240° um die Axen Ci Ci'. 



Die 24 un eigentlichen Collineationen sind — ebenfalls im An- 

 schluss an die Tabelle (9lp — 1) die Spiegelung am Mittelpunkte (In- 

 version); 2) . . 4) 3 einfache Spiegelungen an den 3 Symmetrieebenen «,, 

 «2, «3 (den Aequatorebenen zu den Punkten Ai, Ai'); 5) . . 10) 6 einfache 

 Spiegelungen an den 6 Symmetrieebenen ßi . . . ßr, (den Aequatorebenen zu 

 den Punkten Bi, Bi'); 11).. 16) 2.3=6 vierzählige Drehspiegelungen 

 (Drehungen von 90° und 270° um eine Axe Ai Ai' und Spiegelung an der 

 zugehörigen Aequatorebene ai); 17) . . 24) 4.2=8 sechszählige Dreh- 

 spiegelungen (Drehungen von 60° und 300° um eine Axe Ci Ci und Spie- 

 gelung an der zugehörigen Aequatorebene ji). Die 24 uneigentlichen Colli- 

 neationen resultiren auch einfach durch Combination je einer eigentlichen 

 CoUineation mit der Inversion [-1-2-3]; die 48 Collineationen stellen die 

 sog. Oktaedergruppe zweiter Art') dar, deren Eigenschaften in der letzten 

 Zeit vielfach untersucht worden sind. Es sei hier nur noch darauf hin- 

 gewiesen, dass die 24 eigentlichen Collineationen sich sämmtlich als zwei- 

 fache, die 24 uneigentlichen als einfache und dreifache Spiegelungen 

 darstellen lassen. 



Was die 48 Correlationen der sphärischen (und der entsprechenden 

 räumlichen) Figur anlangt, so ergeben sich diese analog aus den 24 Corre- 

 lationen der zugehörigen ebenen Figur. Diese letzteren werden durch 



ö£'i=±^A; oder durch T^'i=±& (^l*?) 



dargestellt, wobei £i homogene Liniencoordinaten bedeuten, und analog, wie 

 es oben geschah, durch 



[±Jci, ±1-2, ±k3] oder [±^i, ±h, ±h] (91»/') 



(Äi, Ä2, Ä;3 = 1, 2, 3) bezeichnet; auch sie bleiben bei gleichzeitigem Vor- 

 zeichenwechsel ungeändert. 



1) Vgl. A. Schoenflies a. a. 0. S. 99. 



