Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 183 



Dabei ist te = l!)«, oder die Vik eines Haiiptkreises sind die c^ik seiner 

 reciproken Polare. Für die Pik (und entsprechend die (\ik) gelten die 

 Relationen: 



^p2ii=^q'-ii.= l , (92;/) 



und p,., p34 + pl3 p42 + pU p23 = ] ^gg^^ 



c\u q34 + qi:i q42 + qi4 qss = | " ' " ' 



Die Pik sind auch, zu je dreien mit combinirt, die Coordinaten der 

 Hauptkugeln, welche den Hauptkreis mit den Eckpunkten des Quadranten- 

 tetraeders verbinden, die qik die Coordinaten der Punkte, in welchen der 

 Hauptkreis die Fundamentalhauptkugeln schneidet. 



Ein Hauptkreis, welcher einen gegebenen Hauptkreis und dessen 

 reciproke Polare schneidet, ist auf beiden rechtwinklig, und die Länge des 

 zwischen beiden liegenden Abschnittes beträgt einen Quadranten. 



Zwei Hauptkreise eines A3 schneiden sich nur, wenn sie derselben 

 Hauptkugel angehören. Sind zwei Hauptkreise gegeben, welche sich nicht 

 schneiden, so können im Allgemeinen zwei Hauptkreise gezogen werden, 

 welche beide rechtwinklig scheiden: es sind dies die beiden Hauptkreise, 

 welche als die beide gegebenen Hauptkreise und deren reciproke Polaren 

 schneidenden gezogen werden können. Diese beiden gemeinschaftlichen 

 sphärischen Perpendikel sind reciproke Polaren. 



Sind P'ik, P"ik die Coordinaten der beiden Hauptkreise, d'u, (5"i2 die 

 Bogenlängen der beiden gemeinsamen Perpendikel, £'12, £"12 die Winkel, 

 welche je zwei durch d'12 oder durch ö"i.i und die beiden Hauptkreise ge- 

 legten Hauptkugeln miteinander bilden, dann ergiebt sich: 



sin c5'i2 sin t'12 = sin d"io sin i"u = 2p'ij, p";,„ = p'i. p"34 + p'n p"42 + p'n p"23 ] 



-I-P'34 P"l2-|-P'42 P"l3-f-p'23 P"l4 i ^^^'^ 



COS 6'n cos £'12 = cos d"i2 cos £"12 = ^p';;^ p" j;, = p'io p"i2 -I- P'i3 p"i3 + p'u P"l4 1 



-I-P'34 P"34+PV2 P"42-|-P'23 P%; | ^^^"^ 



diese beiden Grössen können als Moment und Comoment^) der beiden 



1) Vergl. hierzu: F. Lindemann: Projectivische Behandlung der Mechanils fester 

 Körper. Math. Ann. VII. 56 — 144. E. d'Ovidio: Studio sullo geometria projettiva. Brioschi 

 Ann. (2). VI. 72—101. W. Killing: Die Nicht - Euklidischen Raumformen. Leipzig 1885. 

 Heath: On the dynamics of a rigid body in elliptic space. Philosoph. Transact. 1884. 

 Cole F. N.; On Rotations in Space of Four Dimensions. Americ. Journ. of Math. Vol. XII. 

 p. 191 — 210. — Besonders die beiden letzten Arbeiten stehen in naher Beziehung zu den 

 obigen und den weiter folgenden Betrachtungen. 



