Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 185 



wenn zur Abkürzung 



r" ^ («12 «34 + «13 «42 + «14 «23)'- (93£) 



C-^ C^ik Pik, C = ^«iit Vik (93g) 



gesetzt wird. 



Ist /"=0, d.h. der sphärische Complex ein specieller, so ist 



p'i2 : p'i3 : p'i4 : p'34 : p'42 : p'23 == «34 : «42 : «23 : «12 : «13 : «14, 



d. h. jedem Hauptkreis ist der Leithauptkreis zugeordnet; der diesem spe- 

 ciellen Complexe polar entsprechende hat die reciproke Polare dieses Leit- 

 hauptkreises zur Directrix. 



Die beiden sich polar entsprechenden Complexe (93a) und (93/3) be- 

 stimmen zwei specielle, sich polar entsprechende Complexe, deren Leit- 

 hauptkreise die Axen des Complexes und seines polaren Complexes sind. 

 Die Coordinaten dieser Axen folgen aus der in ;. quadratischen Gleichung: 



(«12 + ^034) («34+^012) + (ai3 + Aß42) («42+^ßl3) +(ßl4 + Aß33) (ß23 + ^«14) = (93?/) 



oder 22 + -4r ;- + 1 = (93»;') 



WO ^ = ^ß2i;^=ßl.;^ + ßl32 + «u'- + «34- + «42--hß23- (93Ö-) 



ist. Die Wurzeln der quadratischen Gleichung (93//) sind reell und reciprok: 



'^ö— 2r% ^ '' 



die hierdurch bestimmten Axen sind also zwei polar- reciproke Hauptkreise. 

 Für r^o, d.h. einen speciellen Complex sind die Axen der Leithaupt- 

 kreis und seine reciproke Polare. Wenn die Discriminante A'- — 4r=0 ist, 

 so sind die beiden Fälle «') Ä = 2r'''' und ,9") A = —2r'''-' zu unterscheiden. 

 Ln Falle ß') ist A,, ^ — i und «12 = «34, 013 = «42, «u = «23, und der 

 Complex: 



ß]2(pI2-|-p34)-|-ßl3(pl3-|-p42)-hßl4(pl4 + p23) = .... {93x) 



oder «15 El -f «13 Es + ßi4 Es = (93x'), 



wenn die ii die analog den Klein'schen Coordinaten »j (vgl. § 1 (2ß)) ge- 

 bildeten sphärischen Liniencoordinaten bedeuten, fällt mit seinem polaren 

 Complexe zusammen; die Axen werden unbestimmt. Die Hauptkreise des 

 Complexes (93x') enthalten die Erzeugenden des ersten Systems ji = 0, ^3 = 0, 

 jj. = der unendlich fernen imaginären Kugel: u-+h-+h- = ^^ 



Im Falle ß') ist P-o = i und ßi-, = -ß34, «13 = -«42, «u = -«23; der Complex: 



«12 (Pl2— P34) + «13 (pl3— p42) + «14 (pl4— P23) = .... (932) 



oder ßi2 E2+«i3 i"4-|-ßi4 i"6 = (93;.') 



Nova Acta LXXV. Nr. 1. 2* 



