Weitere Beiträge zur Theorie der rüumlichen Configarationen. 191 



SO class sie bis auf das Vorzeichen die Coordinaten der Eckpunkte und 

 Hauptkugeln der 6 sphärischen Fundamentaltetraeder darstellen. 



Es sollen zunächst einige allgemeine Bemerkungen über die Deutung 

 derjenigen quaternären orthogonalen Substitutionen vorausgeschickt werden, 

 welchen Colli neationen entsprechen, nämlich einmal der eigentlichen, 

 welchen einfache und Doppel- Drehungen, andererseits der uneigent- 

 lichen, welchen einfache oder dreifache Spiegelungen im dreidimensio- 

 nalen sphärischen Räume ^3 entsprechen.^) 



§28. 



I) A) Eigentlich orthogonale quaternäre Snhstitutioneu 



(CoUineationen). 



a) Einer eigentlich orthogonalen ternären Substitution: 



i'i = 2aa- ik (a ^' = 1' 2, 3), 



k 



wobei 2aii^'^=l, 2aij^aii = 0, A{i^ = aij^ und /J := 1 (95«) 



i i 



ist, entspricht bekanntlich eine Drehung, durch welche der Kugeloktant 3i 3i Si 

 in die neue Lage 3i' S-i' 2i' übergeht. Der Drehpunkt ist der Schnittpunkt 

 der die drei Bogen 3i Sm 82 äi'^ Bs 3s' normal halbirenden Hauptkreise; 

 sind X, fi, V die sphärischen Abstände dieses Drehpunktes von den Eck- 

 punkten des einen oder des anderen Oktantendreiecks, £ die Amplitude der 

 Drehung, so sind die sog. Euler-Cayley "sehen Coefficienten l, m, n durch 

 die Relationen bestimmt: 



1 



^ = cos / tg - £ 



m = cos fitg - e 



n = cos V tg ~ s 



(9.V) 



') Vgl. für das Folgende: Cole, Heath u. s. w. a. a. 0. sowie M. E. Gonrsat: Sur 

 les snbstitutions orthogonales et les divisions regnlieres de l'espace. Annales scientifiques de 

 l'ecole normale superieure. T. VI. 1889. Nr. 1. — Goursat hat hier gezeigt, dass jede ortho- 

 gonale Substitution mit 4 Variabein auf ein System zweier linearer, nicht homogener Substitu- 

 tionen, welche mit zwei complexen Variabein vorgenommen werden, zurückgeführt werden 

 kann. Diese beiden Substitutionen entsprechen für die eigentlichen allgemeinen CoUineationen 

 den beiden Drehungen, für die uneigentlichen CoUineationen der Drehung und der Spiegelung. 



