Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 197 



der Leithauptkreis des speciellen Complexes ist, in welchen der Mittel- 

 complex (96&) übergeht. 



Alle Punkte dieses Hauptkreises (96o') gehen in ihre Gegenpunkte 

 über, während die Punkte des Hauptkreises (96o) eine Drehung um den 

 ersteren als llotationsaxe erleiden, deren Amplitude £'„ sich aus: 



^'° T = ;7^ = öV—^^ii ^ öl/—« 



'' l/floo 2 ^ 



cos £'„ = — -— + 1 = 2- ~ —9^«" + ^ ^ ~2 + ^ 



(96x) 



ergiebt. Diese Bewegung, welche als besondere Doppeldrehung be- 

 zeichnet werden möge, resultirt also aus einer Umwendung um den Haupt- 

 kreis (96o) und einer Drehung von der Amplitude t'o um den Hauptkreis 

 (9600, wobei die Reihenfolge der beiden componirenden Bewegungen ver- 

 tauschbar ist. Ist s'u = — , die Deckung also w-zählig, so ist: 



2711 ijti 

 a = — 4 sin — und r;j = e " , T4 = i ^ (96»p) 



Bemerkenswerthe specielle Fälle sind: 



ß) 1) n=\, a = 0, T;j = T4 = 1, ^ = 0, Q (—1) = 0, m"ii = (o"j(t = | 



V n ■*.-■/ \ 1 T. 1 ( (96oj) 



2 an = 0, i(ajj a^^i) = — 1, a^j, = cij,^, «oo = Sai^-. ) 



Dieser durch das Auftreten der beiden Doppelwurzeln t = — 1 und 

 T = -1-1 bestimmte Fall ist der bereits unter «) 2) erhaltene einer Umwen- 

 dung um den Hauptkreis (96o) als Rotationsaxe. 



ß) 2) n = 2, (i = —4, h = Q, t\ = jr, Tg = T4 = — 1, .9- = ^'«00, «ifc = ( 



«ü = —1' «iA: = 0- \K a) 



Dieser durch die vierfache Wurzel t = — 1 charakterisirte Fall 

 ist derjenige der Inversion oder der Spiegelung am Punkte 0: 

 ä'j = — äi. Jeder Punkt des Raumes S^ geht in seinen Gegenpunkt über; 

 für jede Hau])tkugel vertauscht sich die Innen- mit der Aussenseite. 



Der allgemeine Fall [i), welcher durch eine Drehung um den Haupt- 

 kreis (96o') von der Amplitude e\ und eine Umwendung um den Hauptkreis 

 (96o) resultirte, lässt sich daher auch aus einer Drehung um den ersteren 

 von der Amplitude co = £'0 — 180" und der Inversion zusammensetzen. Die 

 Coefficienten der Substitution sind im Falle ß) denjenigen der Substitution 

 für den entsprechenden Fall «) (einer einfachen Rotation von der Amplitude 



