198 Edmund Hess, 



— ao) sämmtlich entgegengesetzt gleich. Ist £o = —^ und n eine ungerade 

 Zahl, so stellen die geraden Potenzen der Substitution S', welche dem Fall 

 ß) einer Drehung um — nebst Umwendung entspricht, die einfachen 



Drehungen für den Fall «) dar. Im Falle eines geraden n dagegen sind 

 die Potenzen der Substitutionen S und S', welche den Fällen «) und ß) ent- 

 sprechen, von einander verschieden. 



Diejenige eine Transformation des ebenen Raumes E^ darstellende 

 Substitution, aus welcher die eine der beiden Substitutionen c a) und c ß) 

 direct, die andere durch gleichzeitigen Vorzeichenwechsel aller Substitutions- 

 coefficienten hervorgeht, bedeutete eine axiale Collineation. Speciell ent- 

 spricht der identischen Substitution einmal die identische Transformation 

 «) 1), das andere Mal die Inversion ß) 2), und der geschaarten Involution 

 entspricht in «) 2) und ß) i) je eine Umwendung, wobei die beiden sich 

 polar-reciprok entsprechenden Hauptkreise als Axen mit einander vertauschen. 



d) Ein weiterer wichtiger besonderer Fall ist der durch das Auf- 

 treten zweier Doppelwurzeln, welche nicht 1 oder — 1 sind, der 

 biquadratischen Gleichung in r {dex") charakterisirte. Die durch ihn be- 

 stimmten Bewegungen im Räume S,; entsprechen den geschaarten Involu- 

 tionen und Collineationen mit imaginärem Axenpaar im Räume R^. 



Setzt man zur Auflösung der reciproken biquadratischen Gleichung 



(96x'): T+- = T', (96b) 



T 



SO erhält man die beiden quadratischen Gleichungen: 



,._« -^(,_2) = I ^^^^^ 



T- T T + 1 = I 



Das Verschwinden der Discriminante der ersteren dieser Gleichungen: 



^^ — ?* + 2 = oder t' = | = ± l/&=2 (96d) 



drückt die Bedingung aus, dass die biquadratische Gleichung zwei (zu ein- 

 ander reciproke) Do])pelwurzeln hat. 



Aus den Gleichungen (96A) folgt mit Berücksichtigung der Relation 



(96rf): l6aoo2 ^ /« _,. gV 



Cloo 



UDO V2 



(96 e) 



