Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 199 



ßoo /, oP- 



= ± 

 Ferner folgt (vgl. (96d')): 



und hieraus r'/2 = «00* = ±|~ (4- 1') (96/') 



A = 2^a\]^ = «00 (1 — n 



" + * 



'"'i-'j) ■ . . (96!7) 



Somit besteht die Relation: 



Ä= ±2r'/i oder A'-^ir, (9670 



welche (vgl. § 26 unter 4) «0 und ß')) ausdrückt, dass die beiden Axen des 

 Mittel - Complexes unbestimmt werden. Die Gesammtheit der reellen 

 Schraubenaxen bildet also mit den imaginären Erzeugenden des einen Systems 

 von Act eine lineare Congruenz, deren Leithauptkreise die beiden imaginären, 

 sich selbst conjugirten Hauptkreise (93;r') bez. (93jr") sind. Das durch die 

 Axen des Mittelcomplexes auf St^ bestimmte Polartetraeder besonderer Art 

 ist also in diesem Falle unbestimmt. 



«) In dem besonderen, einer geschaarten Involution mit imaginärem 

 Axenpaar im Räume R^ entsprechenden Falle für den Raum S3 sind die 

 beiden Doppelwurzeln r gleich / und —i entsprechend den Werthen: 



t' = 0, & = 2, a = 0, «00 = ± i^, (96A-) 



die Bewegung in S^ ist eine vierzählige. 



1^) Wenn die geschaarte Collineation mit imaginärem Axenpaar im 

 Räume E^ eine «-zählige ist, dann ist die entsprechende Bewegung im 

 Räume S3, falls n eine gerade Zahl ist, eine 2w-zählige, und zwar ist: 



T' = 2eos-, a = 4cos-, 6 = 2(^1+2 cos— V .... (96?) 



ist dagegen n eine ungerade Zahl, so resultirt sowohl eine »-zählige als 

 eine 2«-zählige derartige Bewegung im Räume S^; die geraden Potenzen 

 der Substitution *S", welche die letztere darstellt, bedeuten dann wieder die 

 M- zähligen Bewegungen. 



In Betreff der verschiedenen Arten der Zusammensetzung einer 

 solchen Bewegung sind die nachfolgenden, unter e) am Ende aufgeführten 

 Beziehungen zu vergleichen. 



e) Der allgemeine Fall einer eigentlich orthogonalen quaternären 

 Substitution, welcher eine allgemeine (Schrauben-) Bewegung in dem Räume 

 S-i bedingt, entspricht einer allgemeinen eigentlichen Collineation in dem 

 Räume R,. Aus den unter h) aufgestellten Formeln ergeben sich die beiden, 



