Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 203 



Mittelcomplex, während die Strahlen desselben durch die Gesammtheit der 

 in den Punkten 2[("", S8""> .... auf den Sehnen 21 91', 93 93', ... . senkrecht 

 stehenden Hauptkreise gebildet werden; diese letzteren sind auch die Axen 

 solcher eonjugirten Drehungen, welche sich aus zwei Um wen dun gen zu- 

 sammensetzen. Die analytische Darstellung dieser Beziehungen ist mit Be- 

 nutzung der vorstehenden Formeln leicht auszuführen und gestaltet sich 

 sehr einfach, wenn man als Hauptkreis [i eine Kante des Coordinatentetra- 

 eders wählt. Bei der Composition zweier Drehungen ist die Multiplication 

 der beiden Substitutionsdeterminanten nach bekannten Kegeln auszuführen, 

 indem man die Zeilen (Colonnen) des ersten Factors mit den Colonnen 

 (Zeilen) des zweiten Factors multiplicirt und die erhaltenen Werthe in der 

 Substitutionsdeterminante des Produkts nach Zeilen (Colonnen) anordnet. 



§29. 



I B) Uneigentlicli orthogonale quateriiäre Subslitutioiieu. 



Für eine solche Substitution: 



J'i = J? aik hk^ (■'. /^ = 1, 2, 3, 4), 



wobei 



^aik^ = 1, ^ aik (Hl = 0, ^ijt = —CHk, («i.fe. %k.^ = — («»3^3 %h), zl = — 1 . . . (97a) 



i 



ist, ergeben sich folgende charakteristische Beziehungen und Unterschiede 

 gegenüber einer eigentlich orthogonalen quaternären Substitution: 

 Die in r biquadratische Gleichung (vgl. (96x')): 



= {97ß) 



Cl[i — T Cl\2 Cli^ Oh 



a-n a-2n T «23 «24 



«31 fl'32 (h'i '^ 0!34 



«41 «42 «43 «44— T 



nimmt, da h = :^ A, = o (97/) 



wird (wegen {c%k, «u-,) = — («{3^3 «i,tj) die einfache Form an : 



T*—ax^ + aT — l=0 (976) 



wobei a^^a.ii (97i) 



ist. 



Diese Gleichung hat stets die Wurzeln T| = 1, t2 = — l, d. h. die 

 Determinanten Q{+1) (vgl. (96rf)) und f2(— i) (vgl. (96/;)) sind Null, was geo- 

 metrisch bedeutet, dass die Halbirungspunkte %i der Bogen Qi Q'i auf einer 



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