Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 



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(97j;) 



Substitutionscoefficienten hervorgehende Fall derjenige der Inversion oder 

 Spiegelung an einem Punkte (vgl. § 24 nach (9i£)). 



Die Beschaffenheit einer ein- oder dreifachen Spiegelung im Räume 

 Äg, die Bestimmung der charakteristischen Axen, Punkte, Hauptkugeln lässt 

 sich auch analytisch durch Benutzung der Darstellung in Hauptkreiscoordi- 

 naten erhalten (vgl. die Formeln (96m) u. folg.). Die Gleichung 6ten Grades 

 in ö (96>i) wird wegen («i,^, «ix) == — («{3/13 H^)- 



«1 Ö &i Cj «4 ^4 C4 



a-y Ih Ö Co «5 h:^ Cj 



«3 ^;i C3— ö %, ^6 Ce 



— «4 — h^ — C4 — «1 — ö -Z'i — c, 



— % — ör, — Cj — «2 ~^2 — ö — c-j 



—«0 —b^ — Cfi —«3 —^3 — C3— ö 



oder da 2:0, =0, 2:03 = sind, 



ö^ + ^aj . ö4— ^6».2 ö2 — 1 =0, (97j^') 



welche stets die Wurzeln = 1, — i hat. Die übrigen vier hier in Betracht 

 kommenden Werthe für die Wurzeln sind bereits in § 9 unter I A) bei 

 den uneigentlichen Collineationen des liaumes B^ angegeben worden. Den 

 Wurzeln 0=1, —1 entsprechen die beiden festbleibenden Hauptkreise 93i 33. 

 und «3 934- 



Werden statt der Hauptkreiscoordinaten Pik die ii eingeführt, so 

 bleiben die Wurzeln wesentlich dieselben und die Substitutionen (96««) 

 gehen in fol^eude über: 



ö E'i = («1— «4) i-'2 + ihi—b4} Ki + (ci— C4) h 

 ö E'3 = («2— %) i'-- + (^2—^5) i-4 + (c-2— C5) Je 

 ö ti = («3— «b) i'2 + ibi—h) £4 + (C3— Ce) f« 



ö j', = -(a, +«4) El — (&i +^4) E3 — (Ci +C4) i-5 

 (97g) und (jf',==_(a, + a5)Ei— (&.2 + Ö5)E3-(c2 + Cö)f5](97§') 

 ö E'e ^ -(«3 + «b) Ji — (Ö3 + &ü) ft — fe + Cc) h\. 



§30. 



II) Orthogonale qiiaternäre Substitutionen, welche 



Correlationen bedeuten. 



Dieselben gehen aus den entsprechenden linearen Transformations- 

 formeln zwischen Punkt- und Ebenen-Coordinaten durch den besprochenen 

 Uebergang aus dem ebenen Räume B^ in den sphärischen Raum S^ hervor. 

 Je eine Collineation h'i = -^a'ijcik und eine Correlation bi = -^(^ikhk oder 



k k 



i'i = .Sai]c C.jc, von welcher die eine aus der anderen durch Vertauschung von 



k 



