Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 217 



selbst auf einander senkrecht stehen), so folgt, dass für n = 2j) die reellen 

 Eckpunkte (Hauptkugeln) für die Correlation zu derselben Gruppe von 

 Punktengehören, wie diejenigen für die Collineation, für « = 2j>+l dagegen 

 zu einer anderen Gruppe. So sind für n = i (vgl. § 15 A) und B) 2)) die 

 beiden reellen Eckpunkte für die Collineation und Correlation je zwei Punkte 

 i^o'^^f^i^ (zwei Hauptkugeln i^f = r/l^>), dagegen für n^3 (vgl. § 21 A) und 

 B)) für die Collineation je ein Punkt c und g (je eine Hauptkugel s und x), 

 für die Correlation dagegen zwei Punkte p (zwei Hauptkugeln n). 



Die geraden Potenzen einer eine solche Correlation darstellenden 

 Substitution S' bedeuten die k- zähligen Drehungen ^m den die beiden ima- 

 ginären Punkte enthaltenden Hauptkreis, S"« bedeutet bei geradem n die 

 Umwendung um diesen Hauptkreis, bei ungeradem n dagegen eine uneigent- 

 liche Polar -Correlation (vgl. 1) dieses §) oder, falls die Vorzeichen aller 

 Coefficienteu «ij: umgekehrt werden, die inverse uneigentliche Polar- 

 Correlation. Im Übrigen ist die durch den gleichzeitigen Vorzeichen- 

 wechsel aller Coefficienteu «ijt oder der Wurzelwerthe für o bestimmte 

 2M-zählige allgemeine uneigentliche Correlation, abgesehen von dem Auf- 

 treten der Gegenpunkte und der entgegengesetzten Seiten der Hauptkugeln, 

 von derselben Beschaffenheit, wie die erste. 



§33. 



Aiiweiiduiigeii auf regelmässige Gebilde des vierdimensioiialeii 



Raumes. 



Aus den in den letzten Paragraphen gewonnenen Aufstellungen lassen 

 sich nunmehr unmittelbar die sämmtlichen Bewegungen, Spiegelungen und 

 dualistischen Umformungen entnehmen, durch welche die bereits in § 24 

 erwähnten regelmässigen, linear begrenzten Gebilde des vierdimensioualen 

 Raumes It^ in sich übergehen. 



Die regelmässigen (und auch die zum Theil regelmässigen), linear 

 begrenzten Gebilde des vierdimensioualen Raumes R^, die sog. regulären 

 (und die theil weise regulären) Polytope sind bestimmten sphärischen „Zeil- 

 geweben"'), welche den sphärischen Raum S-. ausfüllen uiul durch die 



>) Vgl. E.Hess: Ueber die regulären Polytope höherer Art. Mar.b. Ber. 1885. S. 31—57. 



Nova Acta LXXV. Nr. 1. j 



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