218 Edmund Hess, 



Symmetrieräume jeuer Gebilde entstehen, ein- oder umgeschrieben. Diese 

 sphärischen Zellgewebe entstehen durch Centralprojection aus bestimmten 

 vollständigen Figuren des dreidimensionalen ebenen Raumes i?3 (vgl. § 26), 

 analog wie die sphärischen Netze, welchen die regelmässigen (und die halb- 

 regelmässigen) Polyeder ein- oder ixmgeschrieben sind, durch Central- 

 projection gewisser vollständiger ebener Figuren auf die KugelHäche er- 

 halten werden können (vgl. § 25). 



Den Bewegungen. Spiegelungen und dualistischen Umformungen, 

 durch welche ein solches sphärisches Zellgewebe in sich übergeführt wird, 

 entsprechen in einfacher "Weise die Collineationen und die Correlationen für 

 die jenen ein- und umgeschriebenen Polytope. Denn da durch Verbindung 

 des Mittelpunktes des S^ mit den Punkten, Hauptkreisen und Hauptkreis- 

 bogen, Hauptkugeln und Flächentheilen derselben, sphärischen Flächen 

 2ten Grades, bez. Gerade, Ebenen und Ebeneiitheile, Euklid'sche Räume 

 („Lineoide" nach Cole') und deren Theile, Kegelräume 2ten Grades des P^ 

 entstehen, so können — auch analytisch — alle den Punkt enthaltenden 

 Gebilde des Raumes F^ durch die entsprechenden des sphärischen Raumes 

 ^3 dargestellt werden. Insbesondere entsprechen zweien sich nicht schnei- 

 denden (nicht derselben Hauptkugel angehörigen) Hauptkreisen des S3 zwei 

 sich nicht in einer Geraden schneidende (nicht demselben Euklid'schen 

 Räume angehörige) Ebenen des -R4, einem Hauptkreis und dessen reciproker 

 Polare entsprechen zwei „absolut zu einander senkrechte" Ebenen (nach 

 C öle 's Bezeichnung), welche sich in Beziehung auf den imaginären Kegel- 

 raum oder „Null- S3- Raum- K-^, der der imaginären Fläche Ä^ entspricht, 

 als conjugirte Polar-Ebenen zugeordnet sind. Auf diesem Null -S3- Raum 

 lassen sich zwei Schaaren imaginärer erzeugender Ebenen unterscheiden, 

 ebenso wie den reellen sphärischen Flächen 2ten Grades mit zwei Schaaren 

 reeller erzeugender Hauptkreise im B^ Kegelräume 2ten Grades mit zwei 

 Schaaren reeller erzeugender Ebenen entsprechen. Einem sphärischen Haupt- 

 kreis-Complexe ersten Grades (vgl. § 26 unter 4» entspricht im B^ ein linearer 

 „Ebeneu-Complex", wobei die oben besprochenen Beziehungen iind beson- 

 deren Fälle des ersteren sich ohne Weiteres auf den letzteren übertragen 

 lassen. 



') A. a. 0. 



