Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 221 



2) Werden in den 8 Eckpunkten des sphärischen Gewebes 6?, die 

 den Raum S-^ berührenden Euklid'schen Räume construirt, so entsteht das 

 dem Gewebe G-, umgeschriebene reguläre Achtzeil JP,'. Die 16 

 ►Schnittpunkte, welche sich zu je zweien als Gegenpunkte entsprechen, 

 dieser 8 Räume zu je vieren sind die Pole der tetraedrischen Grenzräume 

 des eingeschriebenen Sechszehnzells in Beziehung auf S^, die 32 Kanten, 

 in welchen sich je 3 Räume schneiden, entsprechen polar den regulär-drei- 

 eckigen Grenzflächen, die 24 regulär - viereckigen GrenzÜächen den 24 

 Kanten des eingeschriebenen Sechszehnzells, die 8 Grenzräume endlich sind 

 reguläre Hexaeder. Für die Abstände »'e der Eckpunkte, »"'a- der Kanten, 

 r'f der Seitenflächen und r'^ der Grenzräume vom Mittelpunkte erhält man 

 leicht (vgl. (99a)): 



i=^-V=^. = l/3, >-V=|^=/2,.', = J- = i-, 



(99/) 



für die Grössen ^2, g'o, '^'■i, ^'2 ergeben sich in den bezüglichen Maassein- 

 heiten die Werthe: 



g', = 2, 5'., = 4, 5ß'2 = 8, SR'., = 2 , (99cJ) 



so dass der „Umfang" des Achtzells 64, der Inhalt desselben 16 beträgt, 

 für die Kantenlänge = 1 also bezüglich 8 und 1.') 



Die Eigenschaften und polaren Beziehungen der beiden regulären 

 Polytope JPo und P'^ können auch analytisch sehr einfach durch Benutzung 

 des vierfach rechtwinkligen Coordinatensystems erhalten werden, dessen 

 Coordinatenräume die 4 in sich senkrecht schneidenden Euklid'schen 

 Räume sind, welche den concentrischen Raum S-j in den 4 Hauptkugeln 

 «, . . «4 schneiden, während die 6 Coordinatenebenen und die 4 Coordinaten- 

 axen bez. die 6 Hauptkreise t und die 4 Eckpunkte Oj . . 04 (nebst Gegen- 

 punkten a'i . . Q'4) erzeugen. 



3) Durch die 16 Eckpunkte des regulären Achtzells P'2 ist auf dem 

 concentrischen Raum S'^ mit dem Radius »'e = 2 ein zugehöriges reguläres 

 sphärisches Gewebe G".2 bestimmt, welchem P'2 eingeschrieben ist. Dieses 

 Gewebe <?", ist durch die 12 Hauptkugeln ii' gebildet, welche je vier Eck- 

 punkte eines Quadrates von P'., und deren Gegenpunkte enthalten, und 



1) Vgl. Hoppe a. a. 0. 



