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Edmund Hess, 



welches alle Schnittliaiiptkreise der 16 Hauptkugelii sind, da 



^V 16 ('^1+12 ^2 



+ 24(^) = 



= 120 ist. 



Die Schuittpunkte der 16 Hauptkugeln sind: 



4 Punkte d . . ai (und Gegenjmnkte ü\ . . a'4), | 3 Hauptkugeln a 



entsprechend Cj . . 64, in denen sich I 6 ,, ß 



12 Punkte Bi..h,2 (und Gegenpunkte 61' . . fi'u), ( 2 Hauptkugeln « 



entsprechend C13 . . C24, in denen sich I 3 „ ß 



16 Punkte bi..bu, (und Gegenpunkte b'i. .b'ie), j 1 Hauptkugel « 



entsprechend bi-.bje, in denen sich I 3 Hauptkugeln ß 



8 Punkte Ci . . c, (und Gegenpunkte (c'i . . c'.,), \ 6 Hauptkugeln ß 



entsprechend es-.eia, in denen sich \ vereinigen. 



Die Summe dieser Schnittpunkte: 



(99x) 



+ 12 



5j + i6 l^\ , o /6 



+ 



680 



muss noch, da auf jedem der 6 Hauptkreise e vier Punkte (je zwei Punkte 

 a und (1), auf jedem der 16 Hauptkreise A' vier Punkte (je ein Punkt a 

 und b, zwei Punkte c) liegen, um 



6 (4 



-' Ö 



+ 16 (4-1) 



120 



vermindert werden, so dass die Anzahl aller Schnittpunkte der 16 Haupt- 



kuo-eln 



560 



resultirt. 



Auf jeder der 4 Hau])tkugeln « liegen 3 Hauptkreise e und 6 Haupt- 

 kreise f?, welche sich in 3 Punkten a, 4 Punkten b und 6 Punkten I1 (und 

 deren Gegenpunkten) schneiden. Vgl. Fig. 1, welche eine stereographische 

 Projection') einer Haupthalbkugel « giebt.-) Es ist hier: 



a b = b a = 45« I 



ab = ?/, bb = 90»— 7/ I ^ ' 



Diese Figur ist genau das durch die (3 + 6) Symmetrieebenen eines regulären 



Oktaeders oder Hexaeders auf einer concentrischen KugelÜäche erzeugte 



sphärische Netz. Durch die vier Hauptkugeln «, . . «4 allein wird das 



reguläre Oktaedernetz auf jeder derselben vermöge der Hauptkreise c er- 



1) Eine anschauliche Darstellung der stereographischen Projectionen der regelmässigen 

 Einteilungen des dreidimensionalen sphärischen Raumes durch die von mir angegebenen 

 Polyeder-Kaleidoscope habe ich kürzlich (Marburger Berichte, Juni 1898) behandelt. 



2) Die bei sämmtlichen Figuren (mit Ausnahme von Fig. 8) der 3 Tafeln stehenden 

 kleinen und grossen lateinischen Buchstaben entsprechen bez. den kleinen und grossen 

 deutschen Buchstaben des Textes. 



