Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 229 



und (l, und zwar rechtwinklig-, schneidet. Je zwei Hauptkreise tZo, welche zu- 

 gleich vier Hauptkreise e*" und vier Hauptkreise d senkrecht schneiden, sind 

 reciproke Polaren (vgl. § 26 unter 3)). Durch jeden der hier in Betracht 

 kommenden Punkte i^f und b^ gehen zwei der 24 Hauptkreise d^ hindurch. 



§36. 



Transformationen der beiden regulären Gewebe Go und G'2 

 und der ihnen zugehörigen Polytope in sich selbst. 



Die Gesammtheit der Transformationen, durch welche die beiden 

 regulären sphärischen Gewebe G^ und G'^ und die ihnen zugehörig'en regel- 

 mässigen (und auch die zum Theil regelmässigen) Polytope in sich über- 

 gehen, ergiebt sich sofort aus den Sul)stitutionen der in § 23 II) betrachteten 

 Gruppe GJjs^ (bez. G'^gf), wenn der in § 27 ffg. erläuterte Process der Ueber- 

 tragung aus dem Räume It. in den sphärischen Raum ^'3 vorgenommen 

 wird, wodurch die Zahl der Collineationen und der Correlationen sich ver- 

 doppelt. 



Die unter i), 2a), 3a); 6a), 6d), 7a) der Tabelle G'J^a^ in § 23 unter II) 

 aufgeführten Substitutionen ergeben die im Folgenden übersichtlich zu- 

 sammengestellten Transformationen. Aus den aufgeführten Pirnkten, Haupt- 

 kreisen, Hauptkugeln u. s. w., welche die einzelnen Bewegungen, Spiege- 

 lungen und dualistischen Umformungen charakterisiren, können die ent- 

 sprechenden Geraden, Ebenen, Enklid'schen Räume u. s. w. des Ji'4 für die 

 ein- oder umgeschriebenen Polytope mit Benutzung der in § 33 gegebenen 

 Regeln leicht entnommen werden. Die bezüglichen Substitutionen in ortho- 

 gonalen Coordinaten sind im Anschluss an die früheren Bezeichnungen 

 durch je ein Beispiel erläutert.') Die vorgesetzten Nummern entsprechen 

 denjenigen der Tabelle G^äi in § 23 II). 



A) Bewegungen (zwei- oder vierfache Spiegelungen), den 

 eigentlich orthogonalen quaternären Substitutionen, welche 

 Collineationen bedeuten, entsprechend. 



1) Vgl. auch S. L. van Oss: Die Bewegungsgruppen der regelmässigen Gebilde von 

 vier Dimensionen. Inang.-Diss. Giessen 1894. 



