Weitere Beiti'äge zur Theorie der räumlichen Confignrationen. 231 



3) ßj) 12 Umwendungen um je einen der 12 Hauptkreise d', z. B. 



S = [1-2 -4 -3], 

 Vgl. § 28 (96r), (96(») und § 13 (82a). 



3) /3|) 2.6 = 12 vierzählige einfache Drehungen um je einen der 6 

 Hauptkreise e und e'; z. B. 



Ä = [1 2 -4 3], = e,9oo), 53 = [1 2 4 -3] = «(.goo,. 



^' = ''(isu") ist die Umwendung um e. Vgl. § 28 c«) und § 13 (82/9). 

 3)^2) 2.6 = 12 besondere vierzählige Doppeldrehungen, nämlich 



Drehung von 90" oder — 90" um e (e') und Umwendung um e' (e). 



Z. B. S = [-1 -2 4 -3], = e^9o„) e'(,8oo,, S'^ = [-1 -2 -4 3], = e(_9oo) e'^goo,. 



'^'^ = «'(ISO") ist die Umwendung um e. Vgl. § 28 c/S). 

 3)7,) und 3)7,) -1 . 12 = 48 allgemeine acht zähl ige Doppeldreh- 

 ungen, deren Schraubenaxen einer der 12 Hauptkreise d,) und dessen reci- 

 ])roke Polare d'^ ist: S = (?(i(45») '^'"(i35") ^^^^ ^4(45») f^'u(-i35")- Die Elemente des 

 festbleibenden sphärischen Tetraeders, dessen Eckpunkte 4 imaginäre Punkte 

 t'^^'=f<*, dessen Hauptkugeln 4 imaginäre Hauptkugeln /f = ^j^f und dessen 

 Kanten ausser den reellen Schraubenaxen d^, d\, je ein imaginäres Haupt- 

 kreispaar d und e'i' sind, entsprechen genau den früher (§ 8 C I unter 2) 

 (3O7) und (30d) angegebenen. 



Z. B. S = [3 4 -2 1], = d'„(45„) (i„(i35„). S3 = [-4 3 -1 -2], = fZ'o(,35„) (Z„,45„)| y^i^ § 13 

 55 = [-3 -4 2 -1], = f?'o(_i350) rf„(-45.), 5'' = [4-3 12],= rf'o(_45.,) f?o(-i :i5")) (827) ; 



S- = [-2 1 -4 3], = rf'o(9ooj f?ii(-9oo, und S^ = [2-14 -3], = ^'„(-go") f?o(fiu°) bedeuten 

 die unter I7,), I7;;) betrachteten vierzähligen Doppeldrehungen, deren 

 Schraubenaxen eine lineare Congruenz bilden, »S'« = [-1 -2 3 -4], bedeutet 

 die Inversion. 



Damit sind die 192 Bewegungen, welche die Gewebe G.. und G'.. in 

 sich überführen, sämmtlich aufgestellt.^) 



B) Ein- oder d r e i f a c h e S p i e g e 1 u n g e n . den u n e i g e n 1 1 i c h 

 orthogonalen quate mären Substitutionen, welche Colli ne- 

 ationen bedeuten, entsprechend. 



6)«'}') 4 einfache Spiegelungen an je einer der Hauptkugeln 

 a, . . «4, z. B. S = [-12 3 4], = I «, I (vgl. § 29 a«). 



') Vgl. S. L. van Oss: A. a. 0. Hier sind die 192 Bewegungen auf anderem Wege 

 hergeleitet, während die Spiegelungen und Correlationen nicht berücksichtigt werden. 



