248 Edmund Hess, 



■welche auf den 6 Hauptkreisen e und den 12 Hauptkreisen e(i) zu je vier 

 (nebst Gegenpunkten) , die Oktanten a b und b c halbirend auftreten, 

 ausser den Projectionen der beiden reellen Punkte bo = io*^'^^ (§ 2> § 3 (127)), 

 welche nebst Gegenpunkten auf den 24 Haujjtkreisen d, die Quadranten 

 a b b halbirend auftreten, und endlich ausser den Projectionen der Punkte p 

 (§ 4 7) und 13 0), welche zu je sechs nebst Gegeupunkten auf den 16 

 Hauptkreisen Je', die Bogen c b halbirend, auftreten, erhält man noch auf 

 jedem der 48 Hauptkreise rf^D und dW je zwei Punkte bo (nebst Gegeu- 

 punkten), welche, wie die ersteren Punkte b„, hier als Halbirungspunkte 

 der sphärischen Kanten mit den Centriwinkeln 2 ?; —90° auftreten (vgl. (lOO/i)) 

 und endlich auf jedem der 16 Hauptkreise Je ebenfalls je 6 Punkte p (nebst 

 Gegenpunkten), während die Halinrungspunkte der Bogen mit den Centri- 

 winkeln 90"—?/ der 24 Hauptkreise d und der 48 Hauptkreise d(i) für das 

 Folgende nicht in Betracht kommen. (Vgl. Fig. 7«).) 



Je vier Punkte i„('') und b^ (nebst Gegenpunkten) liegen wiederum 

 auf einem Hauptkreise d^. deren es 72 giebt, so dass jeder Hauptkreis durch 

 die abwechselnd aufeinander folgenden Punkte io^") und bo in 16 gleiche 

 Bogen (= 22'/-/) getheilt wird und jedem der 1152 Elementartetraeder ein 

 solcher Bogen zukommt, welcher die Gegenkanten e oder cO) und d oder (?(i) 

 halbirt und rechtwinklig schneidet. Durch jeden der 72 Punkte !„(«■) (und 

 deren Gegenpunkt) gehen 4 Hauptkreise d„, durch jeden der 144 Punkte bo 

 (und deren Gegenpunkt) gehen 2 Hauptkreise f?„ liindurch. 



§39. 



I. Trausformatioiieii der beiden regulären Gewebe G3 uud g'^ 



und der ihnen zugehörigen Polytope in sich selbst. 



Die Gesammtheit der Transformationen, durch welche die durch den 

 Verein der beiden conjugirten regulären Gewebe G-, und G'^ bestimmte Figur 

 in sich übergeht, ergiebt sich aus den Substitutionen der in § 23 II) be- 

 trachteten Gruppe G^^U (bez. Gil&), welche die harmonische Configuration 

 in sich überführen, durch den Process der Uebertragung aus dem Räume 

 i?3 in den sphärischen S3 und umfasst 2304 Collineationen und ebensoviele 

 Correlationen. Die Substitutionen der Untergruppe GH^. (bez. G^^'), durch 



