Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 265 



9|^i) und 9;:^.2) 8 . 24 = 192 allgemeine 24-zählige Doppel- 

 drehungen, deren Sehraubenaxen zwei reelle Hauptkreise h, /«'sind. Die 

 Elemente des festbleibenden sphärischen Tetraeders sind dieselben, wie für 

 die § 39 unter 4;5,) 4(9,) betrachteten zwölfzähligen Doppeldrehung-en, 

 welche durch die geraden Potenzen S^\ S'", &''*, Ä'^^ einer vierundzwanzig- 

 zähligen Substitution S dargestellt werden. Die Potenzen S\ S'*, »S''«, S-" 

 sind sechszählige Doppeldrehungen, deren Sehraubenaxen eine lineare 

 Congruenz mit dem imaginären Hau])tkreisaxenpaar />o (vgl. § 39 unter ia-ij), 

 die Potenzen S% S^^ vierzählige Doppeldrehungen, deren Sehraubenaxen 

 eine lineare Congruenz mit dem imaginären Axenpaar e*^* bilden (vgl. § 36 

 unter A l/,) l/^)), S^'^ ist die Inversion. Die ungeraden Potenzen S^ S», S^^, 

 S-'- bedeiiten die unter 871), 87.,)) betrachteten achtzähligen Doppel- 

 drehungen, bei welchen die Sehraubenaxen eine lineare Congruenz mit dem 

 imaginären Axenpaar e'-' bilden. Z. B. (vgl. § 20 unter A 2)): 



Ä = [14-2 3]4, S5 == [4 2 -1 3]^, S'==[-3-2-4 1]4, Ä" = [-3 -1 -2 4], 



Ä13 = [-1 -4 2 -3J4, Si' = [-4-2 1 -3]^, Sis'=[3 24-IJ4, ^23 = [3 1 2 -4jä 



= ^*(-165«) ^'''(-lOö»), ='*(- 105") '*'(-! eö"), = ^'(-Tö") '''(-15")? = ''(-15°) '''{-TS») ' 

 S"- = [1 -4 -2 3]3, Äi" =[421 3],, S^* = [-142 -3J3, S« = [-4 -2 -1 -3]., . ) 



= /t(300) /i'(l50"), =''(150») '*'(30»), ^''(-150") '''(—3""), = ''y-.30°) '*'(-! öH") I 



S* = [3-12 -4],, S« = [-3 -2 4 1].„ Ä'« = [-3 1 -2 4J2, S'-o =[3 2-4 -IJj . ) 

 ^ /t(6oo) ^'(-Boo), ^''(120") '''(-120°), =''(-120°) ''■'(120°), = ''(-60»), '^Vo") J 



S<i = [-4 3 -2 1], , Ä18 = [4 -3 2 -1], I _ 



S.2 = [_1 _2 -3 -4], = /((ISO») '''(ISO»); 

 A3 = [_3 _4 1 _2]„, Ä9=[2 14-3]„ S>5 = [3 4 -1 2]e, S'^i = [-2 -1 -4 3]^ ( 

 = '»(450) 'i'(-135») = ''■(135°) ''■'(-Ja") ~ ^(-135°) '''(45°) = ''(-45°) '''(135°) ' | 



Hiermit sind die 576 hierher gehörigen Bewegungen vollständig angegeben. 



B) Ein- und dreifache Spiegelungen. 

 5«i) 2 . 72 = 144 vierzählige Drehspiegelungen. Von den 

 beiden Punkten b'j', b<^> (vgl. § 3 (12/)). welche auf einem der 24 + 48 = 72 

 Haujttkreise d {d'), der Axe der 90° betragenden Drehung liegen, bleibt b*-^' 

 fest, während b'J^' in den Gegenpunkt übergeht; die durch die reciproke 

 Polare d' (d), deren imaginäre unendlich ferne Punkte festbleiben, hindurch- 

 gehende Spiegelhauptkugel d'-f bleibt fest, während d'^'J die Innen- und 



Nnva Acta LXXV. Nr. 1. 



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