Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Confignrationeu. 325 



die wichtigsten, für die Transformationen in Betracht kommenden Glruppen, 

 von welchen einige bereits Im I. Hauptthell auftraten, im Folgenden an- 

 gegeben werden sollen. 



I) 226 Flächen F^'>. 



Dieselben werden durch je drei, zu zweien in Involution liegende 

 lineare Complexe C'(i) (vgl. § 44 unter A) Formel (42)) erzeugt; zu ihnen 

 gehören : 



1) die 10 Fundamentalflächen F^l\ . F^IJ (vgl. § 7 unter 1) und For- 

 meln (17 1)), welche durch je 3 Complexe C^l^ oder C'^J ^ erzeugt werden und 

 von denen die erste F^\^ imaginär, die übrigen neun F^V . . F^l} reell sind. 



Aus den in § 44 unter (42a) und (42b) aufgestellten Identitäten er- 

 geben sich die nachfolgenden Darstellungen für die Fläche F^\\ aus welchen 

 auch die beiden Svsteme von Erzeu^uno-slinien leicht resultiren: 



X^^ + X-i'^ + X:,'^ ^ X.,'^-\-Xi'^ + X(,^- 



= X-,'^ + Xii^- + X.2:i^ ^Xf^^ + Xtti^ + X-n'^ 



= Xi^+x,-,'^+x.i^'^ ^ario^-fj-ig^-h.T-ir,'^ 



^ Xu^+x,i'^+Xr,'^ ^iXii'i+x.2n-+x.i^'^ 



= ^ri-i'^+xn^+x-ii"- EEi a:|42-|-.r.>2--f .»-30 



(51) 



Die bereits in § 42 unter 2) betrachtete regulär -ikosaedrische Eintheilung, 

 welche auf der Fläche F*P durch die beiden Systeme der Erzeugungslinien, 

 nämlich 



die 2 . 12 Ilcosaeder-Geraden g^ (vgl. § 42 unter (16«), (16(3)), 



die 2 . 20 Pentagondodekaeder-Geraden c^ ( „ „ (19 a), (19b)) 



und die 2.30 Dodeka-lkosaeder-Geraden &o ( « » (21 a), (21b)) 



entsteht, ist aus den in (51) angegebenen Formen für die Gleichung der 

 Fläche F^l^ sehr einfach zu bestätigen. 



Auf jeder der neun reellen Fundamentalflächen F^l^ . . F^}} sind von 

 den 2 . 12 Ikosaeder-Geraden 2 . 4 reell, nämlich 2 . 4 Gerade g(^) = h<JJ), 

 ebenso von den 2 . 12 Dodekaeder-Geraden 2 . 4, nämlich 2 . 4 Gerade 

 c(*) = ^^C*^) und von den 2.30 Dodeka-lkosaeder-Geraden 2.4, nämlich 2.4 

 Gerade JB = e reell. Z. B. für die Fläche 



^„0) . . . a;,2+x22+a:32 = Xi^-^,X,-^ + X,i = 



sind dies die 2 . 4 Gei'aden 



gi'^)=h^y) . . . -j-cosy ±i sin ff, und +cosg) ±i sin cp ... (51a) 



(vgl. (23 d) in §42), 



