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3) Je zwei der drei Complexe C^l^ (vgl. (42) in § 44 und (5ij) 



.r2m+3 = 0, X2m+n = 0, a:2m+19 = (wt ^= 2, 3, 4, 5) 



erzeugen mit je einem der drei Complexe C^P 



X:, = 0, .T4 = 0, X(, = 



(oder je zwei der letzteren mit je einem der ersteren) und analog je zwei 

 der drei Complexe c'^X^ 



X-im + i = 0, Xim+ii == 0, X-2m + in = 



mit je einem der drei Complexe C*-]^ 



3-, = 0, .Ts = 0, .T;, = 



(oder je zwei der letzteren mit je einem der ersteren) eine reelle Fläche 

 zweiten Grades, deren es im Ganzen 2.3.3.4 = 72 F^{l,l . . liJ2 g^^^^- Z.B. 



■•»^-^+--C|o-+'^2- = .T42+j-,,--+^2:r = (53a) 



oder — tg <f (^,2 + z,-i--z.;'—Zi'>-) + 2 cotg <j> (^, ^3— ■2^4 ^-2) + 2 (^1 .?4 + ^2 ^j) = . . . (53b) 

 oder — i*;'!» tgr/: + i^,(i)cotg r;, + i^,(,('> = (53c) 



Ebenso, wie auf den 9 Flächen F^^^..f'^1^ und den 144 Flächen 

 F\i ■FY^^ sind auch auf diesen 72 Flächen unter den 2. 12 Ikosaeder-, 

 den 2 . 20 Dodekaeder- und den 2 . 30 Dodeka-Ikosaeder-Geraden je 2 . 4 

 reelle Gerade </(*) = &(»), c'^'') = h^^) und B vorhanden. Für das obige Bei- 

 spiel sind dies: 



g(b)=U9) . 



c(*) = ?,(«) 



B . 



-t-/cosf/' und cos ff ■±i sin (p 



+ / sin rp 



+/ cos (p sin </' 



(53 d) 



( tg w „ 1 . . cotg ffJ _ . 

 2 2 +lsm^) ~ +icosrp und cosjp +i -sin i/- 



cotg w . . 1.1 1 



4-ismiij .. -4-7 — — ^ 







' CD „ 1 — . 



-- 2 +/cosi^ 



:J; i sin ip 



( _tg? 1 +,■ _««tgjp 

 12 2 - 2 



1 ■ 1 „ 



-^ -f« -^ 



1/3 - 1/3 



und l ±i ^°i^J^ *^'^ 



(53 e) 



tg-r 1 



,- cotg (p . ^ cotg m 



^ ±t und — 1^ +(. 



2 



- 



1 



(53f) 



J 



2 2 2 -^" """"" 2 — ■ 2 



(vgl. (23 e), (23 d), (24i), (h), (f) in § 42 und (Sag) in § 41). 



Die 225 reellen Flächen F^l^ . . f[\1 sind also in einer solchen Lagen- 

 beziehung, dass durch jede der 360 reellen Geraden gC') = j/a) je fünf, 

 „ „ „ 600 „ „ c^b) ^ ^(c) je drei 



und „ „ „ 450 „ „ B je vier 



dieser Flächen hindurchgehen. 



