328 Edmund Hess, 



Die durch die beiden Systeme der Erzeugungsliiüen dieser 225 

 Flächen bestimmten Schnittpunkte, welche auf jeder reellen oder imaginären 

 Erzeug-ung-slinie sich als 12 Ikosaeder-, als 20 Dodekaeder- und als 30 

 Dodeka-Ikosaeder-Punkte gnippiren, lassen sich, ebenso wie die entsprechen- 

 den Berührung-sebenen leicht durch ihre Coordinaten darstellen. Auf den 

 reellen Geraden B treten hierbei je zwei Punkte 93, je zwei Punkte ® und 

 je vier Punkte S und t auf, welche bereits früher (vergl. § 41 unter 3a)) 

 berücksichtigt wurden. 



n. 60 reelle (nicht geradlinige) Flächen Fi^). 



Dieselben werden durch je drei in Involution liegende Complexe 

 C(2) (vgl. § 44 unter (45g)) erzeugt. Es gehören zu ihnen: 



1) 12 reelle Flächen F^fi . . F^{), nämlich die Hälfte der 24 reellen 

 Flächen F^^\ welche bereits in § 7 unter 2) betrachtet wurden und welche 

 zu je vieren eins der drei Fundamentaltetraeder T,, T^, T3 als gemeinsames 

 Polartetraeder haben. 



Es ist z. B. : 



Fi'-'> . . . (.T,— .r.)2-f-(.r3-a-4)2 + (-T,,-.Tj2 = (a:^-\-x.ir- + {x^+x,y-+(^-,+x,)^] 



^ xi x-i + x^ ^4+^5 ^'d = ( C54a) 



oder _^i2+^/2 + ^3-2+.V- = I 



oder _F/" + i<V"4-i^3'" + J'4<" = 0- j 



Die Gleichungen der 3 Quadrupel sind aus 



xi xi + xj x^ ±_ x-^ .x'e = j 



xi 0:4 ± X3 Xß ± 0:5 0:2 = l (54b) 



x^ a-6 + a-3 a-o + .T5 a-j = | 



zu entnehmen. 



Die Erzeugenden beider Systeme dieser Flächen sind durchweg 

 imaginär und ergeben sich aus den in § 7 2) unter (18C) und (I8?;) auf- 

 gestellten Coordinatenwerthen : 



1 -1 d -() ±?yr+d2 Til/l-Hd- (54c) 



\ \ t t ±'/[/T+«^ ±«'V'l + e2 (54d) 



für bestimmte Werthe der Parameter 6 und i}) 



So resultiren z.B. die 2.12 Ikosaeder-Geraden für die Werthe: 



(J, £=±tgf/s ±cotgf;C, +«siny;, ±^T^, ±*'cos9), +——;... (54e) 



') t bedeutet hier nicht, wie in § 42 Formel (15) ft'., eine fünfte Einheitswurzel. 



