Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 329 



diese Geraden sind identisch mit den in § 43 betrachteten Geraden 



I S. 9o I = Mh A I 

 (vgl. die ersten Formeln in (40d) und (40e)); die 2.(8 + 12) Dodekaeder- 

 Geraden resultiren füi- die Werthe 



1 1 



ö, t ^ +a, +a- und +tg», +cotg«;, +«sint/;, -j- ^ , +?cosw, -\ . . (54f) 



~ ~ —T — oT-j- ^ ^ sirnp ~ cos rp 



und erweisen sich als identisch mit den in § 43 betrachteten Geraden 



I ^1 Co I = I 77, /'o I 

 (verg-1. (4le), (411)); von den 2.(6 + 24) Dodeka-Ikosaeder-Geraden, 

 welche mit den in § 43 betrachteten Geraden 



I 93, bo I = I B, /3'o I und I 3), b„ I = I Ä2 .ö'o I 

 (vgl. (35a), (35b), (37a), (37b), (39a), (39b)) identisch sind, entsprechen je 2.6 

 (welche früher (§ 3 in (ll)) durch d bezeichnet wurden), den Parameter- 



werthen : 



6, f = 0, ^, ±'i (54g) 



Unter den Ikosaeder-, Dodekaeder-, Dodeka Ikosaeder- 

 Punkten einer Fläche F^''^^ sind hiernach je 12 Punkte go, je 12 Punkte 

 Co und je 30 Punkte bo vorhanden, in welchen bez. die Geraden go, co und 

 bo die Fläche berühren, ferner 12 Punkte 2, 20 Punkte ^, 15 Punkte 93 

 und 15 Punkte 2) u. s. f. 



2) Die übrigen 48 reellen Flächen F^^'^: F^^^^ . . F^^^ werden durch je 

 drei zu zweien in Involution liegende Complexe C(2) z. B.: 



.r,+.rs, a-3 + a-,6, .T5±.r.,4 oder a-^ + .r,, .T4±a-,5, Xn+Xis, 

 wie sie in § 44 unter (45g) aufgeführt wurden, erzeugt. 



So ist z. B.: 



(.r,— .T,o)2+(.r3— .ri4)2 + (a-5+.r8)2 = (x, +x,^r- + {x3+Xo,y-+ix,~Xsr- = 1 

 = {:,•,— x^,r^+{^:,—x-23y- + (x,+x^y = (x,+x,,r- + {x^+Xrd^+(x,—x^)^= ... (54h) 



^ Xl .^16+.T3 X-n—X-^ .Tg = X2 Xl^ + X^ .^53— -Tg X-, = ) 



oder 

 (xi Xi—x-i Xü—Xi .7-4) cotg cp—{Xi, .r4+.ra Xi + x-, x^) tg rp—{xi x^—x^ x^+x^ Xo) = . . (54i) 

 oder 



Zi'^-\ g- - ^2^+ 2 ^■^'^ 2~ ^4 '■^— cotg 5P f, ^4—^4 ■^'2— tg 99 ^2 % = (54k) 



Die sämmtlichen 48 Flächen ergeben sich aus: 



iXL±Xin,+iy^ + {X3±Xim+ny- + {x^±X2,n+20)- = {x-2±X2m+3y^ + iXi±X-2„,+ uy + (Xo±Xim+19y = \ 

 iXl±X-2m+Uy + {X3±X2m+io)^ + iX5±X2,n+iy^ ^ {X2±X2m + ny + {Xi+Xim+19y + {X(j±X-2m+3y ^ | (541) 

 {Xi±X2m+w)'^ + {-Cä + Xim+iy + {Xö±Xim+s)'^ ^ {x2±Xim+19y + iXi±Xim+sy + {Xo±Xim+ny = ] 



m = 2, 3, 4, 5. 



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Nova Acta LXXV. Nr. 1. 



