Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 335 



Büschel lind Netze der linearen Complexe und endlich auf die Complexe 

 zweiten Grades ß, Q,\ Q," (vergl. im ersten Haupttheile § 8) wird bei den 

 bezüglichen Transformationen, für welche dieselben in Betracht kommen, 

 eingegangen werden. 



§ 43. 



Uebersicht der linearen Transformationen der Cf. (6O15, TZ{). 



Die sämmtlichen, durchweg reellen Substitutionen, durch welche die 

 Cf. (60i5, 725) in sich übergeführt wird, ergeben sich einmal in tetra- 

 edrischen Coordinaten ^i (Cj), welche sich auf das Fundamentaltetraeder T, 

 beziehen, dadurch dass man (vergl. § 10(79/) und (79/')) die 12 positiven 

 Permutationen von 



[lu ±1-2, ±h, ±h]p oder \lu ±k, +h, ±U] p ■ ■ ■ ■ (56«) 

 bez. von [h, ±k, ±h, ±li]p oder \li, +I2, ±h, ±li ]p .... (56.5) 

 bildet, wo li, h, h, h die in der Reihenfolge, wie sie in (1) (§ 41) angegeben 

 wurde, genommenen Coordinaten der Eckpunkte 93 (Flächen B) eines Tetra- 

 eders Tp (jj = 1, 2, . . . 75) bedeuten. Die positiven Vorzeichen - Combi- 

 nationen (für welche die Determinante ^l = +l ist) liefern alsdann 12.-1.7.5 

 = 3600 eigentliche, die negativen (für welche die Determinante J = —l 

 ist) ebenso viele un eigentliche Collineationen: die Gesaramtzahl der Colli- 

 neationen beträgt also 7200. Gleiches gilt für die Correlationen, deren es 

 3600 eigentliche und ebensoviele uneigentliche giebt. 



Zweitens lassen sich diese Substitutionen in .ri-Coordinateu ein- 

 fach durch die in bestimmter Reihenfolge genommenen und mit bestimmten 

 Vorzeichen - Combinationen versehenen linken Theile der Gleichungen der 

 30 linearen Complexe 6'(i) (Formel (42) in § 44) darstellen. Und zwar 

 treten nur diejenigen Substitutionen auf, bei welchen x'i, x'3, x'^ oder x'i, .r'4, 

 x'^ durch die in bestimmter Reihenfolge genommenen und mit bestimmten 

 Vorzeichen - Combinationen versehenen linken Theile der Gleichungen der 

 Complexe C(i) mit ungeraden Indices und ebenso x'-i, .r'.,, x'^ oder x\, x'z, x'^ 

 durch ebensolche bestimmte linke Theile der Gleichungen der Complexe 

 C(2) mit geraden Indices ersetzt werden. 



In der folgenden Zusammenstellung (57) sind diese „erzeugenden 

 Substitutionen" J^'\ J^'^; B^W i'(?), B^^, B^^- €({), cCp, C'O), C^^); G(J), G^W 



