Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Configurationen. 



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1) 



ein imag-inär-coujugirtes Punkt- (Ebenen-) Paar Qo, g'„ (/',„ /„) (vgl. (14a), (l4b) 

 in § 42). Das reelle Kantenpaar des Tetraeders ist ein Geradenpaar G, G' 

 ((8c) in § 41); die beiden imsiginären Kantenpaare, welche F^l^ berühren, 

 sind je ein Geradenpaar | 93go | = | /z'd I (vgl. (26a) in § 43) und je ein Ge- 

 radenpaar I 3 9(1 I = I ß x'o I (vgl. (26b) § 43). Bei den 360 Haupttetraedern tritt 

 also jeder der 60 Punkte 83 sechsmal, jeder der 360 Punkte 3 einmal und 

 jeder der 144 Punkte g„ fünfmal auf, von den 72 Geraden G jede zehnmal, 

 jede der 720 Geraden |58g,i| und der 720 Geraden | 3 gn | einmal. 



Die vier bez. den Substitutionen S, S'>; S'\ S' entsprechenden Trans- 

 formationen sind zwei Paare von zusammengehörigen zehn zähl igen, auf 

 eine Art uneigentlichen Collineationen mit demselben Haupttetraeder, 

 während S\ S^-, S\ Ä« zusammengehörige füufzählige axiale Colline- 

 ationen mit dem Axenpaar G, G' (vergl. 6A) in § 47) bedeuten und S'> die 

 centrisehe Involution mit dem Centrum 93 und der Homologie-Ebene B 

 darstellt. Die Wurzeln der Gleichung in r sind für 



S, Ä" (A3, S'): T = l, -1, -£, -t\ 



für S\ S' {S, S«): T = 1, -1, -£2, _£:t, 

 für S\ S« {S\ S'-'): T = 1, 1, £2^ s'\ 

 für S>, S>< {S\ S-"): T = 1, 1, e*, a 

 und für »S'-'': r = 1, —1, —1, —1, 



während die Wurzeln der Gleichung in o für 



*S', S^ (S-*, S'): a = i, —i, i i, —is, ie^, —ia*, 

 für ,S'' S' (S, S''): ö ^ i, -i, «'e^ -i a-, i a^, -«£■' u. s. w. sind. 



Die Gleichungen des in sich transformirten tetraedralen Complexes, 



des Complexbüschels, des Netzes von Flächen, welche auf die zweite Art 



in sich transformirt werden und zu denen ausser F^}^ auch je eine Fläche 



i^(«) (vgl. (55a) in § 45) gehört u. s. w., sind nach den früher (§ 8 I) gegebenen 



Formeln leicht aufzustellen. 



Ä^ 



S 



Beispiele: 

 j a; 1 = Xie X 2 = .T-21 



1^3 = X-y^ X 4 ^= X-2\) 



I a; 5 = — .Xg a; y = x^-^ 

 l -B/2) . . . 5,(^) 

 X j = Xiz X 2 -^^ Xf^ 

 X 3 = — O-'äo X'^ = —Xf 7 

 X 5 = — .Tjs X ,; = 0^26 



B/2)..._£,(l) 



[-4-3-2 1],,, S^. 



[3 2 -4 1],„ S' 



X j — X22 X 2 — — X^ 5 



X 3 = — .T3(| X 4 ^ — 'f23 



X 5 = — .l"i 4 X 1; = X-, 



-^/2) . . _^/l) 



iXi = — a'iii X 2 ^ —Xi I 

 j X^ = Xiii X4 = X,,i 



1 x'^ = -0:26 a;'u = X2t 



[_4-3-2 1]i6; 



[3 -2 -4 -1*] 



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