Weitere Beiträge zur Theorie der räumlichen Confignrationen. 435 



bestimmen auf dem concentrisclien sphärischen Räume 63 (vom Radius = 1), 

 welcher das zuerst betrachtete Gewebe 6?4 enthält, wiederum die 60 Haupt- 

 kugeln ß. Dadurch wird auf S:, ein zu G"i concentrisches reguläres Ge- 

 webe G'i bestimmt, welches das zu G4 conjugirte Gewebe ist. Die Eck- 

 punkte b dieses conjugirten Gewebes GU sind die Mittelpunkte der Polyeder 

 des Gewebes Gt, die Kantenmittelpunkte f von G\ die Flächenmittelpunkte 

 von 6r4, indem die Hauptkugeln des conjugirten Gewebes durch die Mittel- 

 punkte der sich in einer Kante schneidenden Polyeder des ersten Gewebes 

 senkrecht zu diesen Kanten hindurchgehen. Die Beziehung der beiden Ge- 

 webe <?4 und G'i ist Aviederum eine gegenseitige: 6?4 ist auch das con- 

 jugirte Gewebe zu G\, die Eckpunkte i von trj sind also auch die Pol}'"- 

 edermittelpunkte von G\ und die Kautenmittelpunkte i von G^ die Flächen- 

 mittelpunkte von G\. Dem Gewebe Gi ist ein reguläres Polytop P4 ein- 

 (ein reguläres Polytop P'4 um-) geschrieben, dem conjugirten G\ ist ein 

 dem ersteren concentrisches Polytop P4 um- (ein dem ersteren concentrisches 

 Polytop P'4 ein-) geschrieben. 



Das reguläre Gewebe G'4 resultirt hiernach einfach, wenn von den 

 14400 Elementartetraedern je 120 um einen Punkt b (6') herumliegende 

 vereinigt werden. Die sphärische Grenzfläche eines der 120 Pentagon- 

 dodekaeder ist eins der in Fig. 8 auftretenden regulären Fünfecke 

 (z. B. D, B^ Z),5 A A mit Kantenmittelpunkten E.-^, E-^, E^, E^, E^ und dem 

 Mittelpunkte Gj) mit der sphärischen Kante «'4 = 120« — 2 g und dem Haupt- 

 kreiswinkel A\ = 2 ?^, während %\ = 1200 ist. 



Bedeutet für das dem Gewebe G\ umgeschriebene reguläre Polytop P4 

 ^Vp^ den Neigungswinkel zweier in einer Fläche sich schneidenden Grenz- 

 polyeder, 

 117, „ „ „ benachbarten Seitenflächen, 



W]^^ „ „ „ anstossenden Kanten einer Seitenfläche, 



so ist 



Wj,^ = 1800— «'4 = 60" + 2 fe, Wf^ = 180»— J.'4 = 180» — 2 /y, ( 



P^'"/^^= 180«-120o = 60». ) ^^^^^ 



Analog folgt, wenn TT'^j^, Try^, W\ die entsprechenden Winkel für 

 das dem Gewebe Gi umgeschriebene reguläre Polytop P'j bedeuten, aus 



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