446 Edmund Hess, 



Doppeldrehungen, während die Potenzen S-, S\ S^, S'" und >S'\ S'' bez. sechs- 

 und vierzählige Doppeklrehung-en darstellen, deren Schraubenaxen eine 

 lineare Congruenz mit einem imaginären Hauptkreispaar c,, bez. h„ bilden 

 (vgl. 5ßi) «2), Stti) ßo)); S'' bedeutet die Inversion. (Vergl. auch § 39 unter 

 4ß,), 4.ß,)). Z. B.: 



S = [4 -3 -2 1*], = c^ (^)^ c^„^ , S^ = [-4 3 2 -1*],, ^ c^%„^ c^^^^ | ^,^, ^^,^^,^, ^^ 



Ä^ = [-4-3 -2 -!*],„ = C(W^ ^Ä "^'" = [4 3 2 n. = c^% c^l*^^^ j IIA3) in § 47). 



S^- = [3 -4 -1* 2],„ = cff,^ c^,^ , SS = [-3 4 1* -2],„ = c^%„^ c^„^ | 



Si — r-3-4-l*-2'l-, = c (^) c (*)' 5'"» = [3 4 1* 21-, = c ('') c (*^' I 



O — L a * ^ J" ''(120») V12O")' *^ L'^ * ^ -'J.4 '-(-Bflo) '-(6()0) I 



«3 — \2 -1 -4 31, = c (^) c ('')' 59 = [-2 1 4 -31, = c ('') c (^)' i (vgl. Beispiel 1) 

 Ä« = [-1 -2 -3 -4],. f.(*) 



, cos ip +? —sin ip ] 



c^"' I ) 



t\i ... sin ip + / cos xp 



\ . . . 1 + ». 



Damit sind die 7200 Bewegungen, welche die Gewebe G^ und 

 G\ in sich überführen, vollständig aufgestellt.^) 



A^^^) Ein- oder dreifache Spiegelungen, den uneigentlichen 

 orthogonalen quaternären Substitutionen, welche Colline- 

 ationen bedeuten, entsprechend (vgl. § 29 und § 50 12A)...15A). 

 12ßi) 60 einfache Spiegelungen an je einer der 60 Haupt- 

 kugeln A . . . ^60 (vgl. § 29 aß) und § 50 unter 12 A)). 

 Beispiele: 



6f= [1 -4-2 -.3]5 : Spiegelung an Hauptkugel /3,3 . . . :^tgrp - - cotg y 



11 11 



2 2 ~2 2 



Ä = [-2 1 -4 -3]^ : „ , „ ßro---l ^tg9> ^cotgy, 



/S = [-4-2 1-3],-,: „ , „ fe--.^tg9' ^ » ^ cotg «;p 



(Vgl. die Beispiele zu 12 A3), 12 A4), 12 A.,), 12 A,) in §50). 



S = [2 -1 4 3], : „ ■ „ „ ß,. 



1) Diese 7200 Bewegungen finden sich auch schon (ohne Heiieitung) kurz bei 

 S. L. van Oss: „Bewegungsgruppen der regelmilssigen Gebilde von vier Dimensionen (Diss. 

 Giessen 1894)" angegeben, während die 7200 Spiegelungen, sowie die 7200 eigentlichen und 

 7200 uneigentlichen Correlationen nicht berücksichtigt sind. 



