464 Edmund Hess, 



rf der Dreiecke, >'p der tetraedrischen Grrenzräume ergiebt sich für den 

 Eckradius r^ = \: 



^*=cosg=^, '•,= coS6 = (/i, r^ = cos(18O0-2g) = ^, (87/i) 



während für die Länge ß, einer der 10 Kanten, für den Inhalt gi eines 



der 10 Grenzdreiecke, sowie für den Inhalt % eines der fünf Pentatope, 



welche durch Verbindung eines Grenztetraeders mit dem Mittelpunkte 



entstehen, in den bezüglichen Maass-Einheiten die Werthe resultiren: 



.-'/So- 5 ^ 5l/'3 „ 5 . „ 51/5 



®' = 2smc =^/ 2, g. = ^,;=cos, = -|-, 5ß, = -^ sin^ = ^, 



5^g_|5 



96 1/2 384 



SO dass „der Umfang" (die Grenze) des Fünfzells —1/5 = — ^.t,', der In- 



_ 24 '' 61/2 



halt desselben ^1/5 = 'g„ gj^ •) beträgt. 



5) Das dem Gewebe G^ umgeschriebene Polytop F\ ist ebenfalls 

 ein reguläres Fünfzell, dessen fünf Eckpunkte die Pole der tetraedrischen 

 Grenzräume des eingeschriebenen P, in Bezug auf S;, sind und dessen 

 10 Kanten, 10 Grenzflächen bezw. polar den 10 Grenzflächen, 10 Kanten 

 von P, entsprechen. Für die Abstände >',, r\, r'^., r'^ und für die Grössen 

 ß'i, %'u $'1. 9t'i ergiebt sich (vgl. (87/i), (877)): 



1—4 •' = 1 = 1/6 •' = 1 = ^^'^ r' = 



= ± =. 4, ,•', = - = 1/6, ,-' = - = ^y-4. '•;=- = 1 • • • • (87/3') 



t', = 8 sin C -= 2 1/ lÖ, 5', = 101/3, 5p', = ^ 1/5, $R,' = ^ ^5 . . . {9.1y') 



Durch die 5 Eckpunkte von P'j ist auf dem mit Sj coneentrischeu 

 Räume <S"3 mit dem Radius r\ = 4 ein reguläres sphärisches Gewebe G'\ 

 bestimmt, welchem F\ eingeschrieben ist. Dieses, dem Gewebe G, voll- 

 ständig ähnliche Gewebe wird durch die 10 Hauptkugeln ()(i) erzeugt, 

 welche die Schnitte von S\ mit den 10 Euklid'schen Räumen sind, die ^3 

 in den 10 Hauptkugeln p schneiden. Es ist also (vgl. (87«)): 



a\ = 2 C, A\_ = 2 /;, 31', = 120", (87«') 



d.h. für die Neigungswinkel IF'^,, ^^'f^, I^X folgt: 



Tr'^^= 180"— 2 g, IF'^^= 1800— 2/;, PF'j.^ = 60'> (87d) 



1) Vgl. R. Hoppe und E. Hess an den in § 52 unter 4) am Ende citirten Stellen. 



