468 Edmund Hess, 



der durch die 120 Elementartetraeder gebildeten Figur ist hieraus, sowie 

 auch aus der in § 51 betrachteten, entsprechenden dreidimensionalen Raum- 

 figur leicht zu entnehmen. 



Die Projectionen der 20 Punkte ^ (vgl. § 52 unter 10)), deren zwei 

 auf jeder Kante K auftreten, sind die Halbirungspunkte der Quadranten 

 r(o) 9^(0) auf den Hauptkreisen k'^^\ so dass die Bogen abstände je zweier 

 aufeinanderfolgenden Punkte p/"^ p«'*' ebenfalls einen Quadranten betragen. 



§ 55. 



Trausforiiiationeii des regulären Gewebes G, und der ihm 



zugehörigen Polytope in sich selbst. 



Was schliesslich noch die G-esammtheit der Transformationen betrifft, 

 durch welche das reguläre Gewebe (?, , das ihm zugehörige reguläre Poly- 

 top J*i nebst der Gegenfigur P', , sowie die zum Theil regelmässigen 

 Polytope nebst ihren Gegenfiguren in sich übergehen, so sind dieselben 

 einmal unter den in § 53 aufgeführten Transformationen der beiden Gewebe 

 Gi und G\ als besondere Gruppe enthalten, andererseits können sie unter 

 Anwendung des in § 27 — 33 erläuterten Processes der Uebertragung aus 

 dem Raum i?, in den sphärischen Raum S-^ aus den in § 51 unter 2 I) A), 

 B) und 2 II) A), B) vollständig aufgeführten Substitutionen erhalten werden. 



Es ergeben sich somit 120 eigentliche Bewegungen, 120 einfache 

 und dreifache Spiegelungen und entsprechend 120 eigentliche, sowie 120 

 uneigentliche Correlationen. Im Folgenden sind die Resultate übersichtlich 

 angegeben und durch einige Beispiele erläutert. 



A^^^j 120 Bewegungen (zwei- und vierfache Spiegelungen), ent- 

 sprechend den eigentlich orthogonalen quaternären Substi- 

 tutionen, welche Collineationen bedeuten (vgl. §51 IjA) — IgoA)). 

 l«i) Identische Transformation: 



S = [1 2 3 4], (vgl. § 28, (96 ö), (vgl. § 5I I, A) 



1«.,) Inversion (Spiegelung am Mittelpunkt 0): unter (73«), (3)). 



S = [-1 -2 -3 -4], (vgl. § 28, (96a)) 

 2a^) 15 Umwenduugen um je einen der 15 Hauptkreise t-^), 



2«2) 15 „ „ „ ., „ „ ., py 



(vgl. § 28, (96t), (96 w) und § 51 L-io A) unter (74 a). 



