Üeber die Irreductibilität ganzzahliger ganzer 

 Functionen. 



Von Eug-en Netto. 



Eisenstein hat den Beweis der Irreductibilität der Kreis- 

 theilungsgleichnng für Primzahlen und Primzahlpotenzen auf den 

 Satz gestützt : Wenn in einer g a n z z a h 1 i g e n ganzen 

 Function 



(1) f (z) = z° + c,z°— 1 -f c,z° — 2 +... + 0x1 

 alle Coefficienten c durch eine Primzahl p theilbar 

 sind, Cn aber durch keine höhere Potenz von p, dann 

 ist f unzerlegbar. 



Herr Königsberger hat im 115. Bande des Journals f. d. 

 r. u. a. Math. Erweiterungen dieses Satzes gegeben. Nach anderer 

 Eichtung und mit anderen Hülfsmitteln als dies dort geschehen 

 ist, wollen wir hier den Eisenstein 'sehen Satz als Anfangsglied 

 einer ganzen Reihe ähnlicher Theoreme nachweisen. 



Sind alle Coefficienten von f(z) durch das Quadrat 

 der Primzahl p theilbar, Cq aber durch keine höhere 

 Potenz von p, dann ist f nur zerlegbar, wenn es in 

 zwei Factoren gleichen Grades zerfällt 



(zV- + a,pzl^-i + a,pzl^— ^ + • . + V), 

 (z!^ + ßjpzl^-^ + ß,pzl^-^ + • . + [^P) 

 («1 + ßi = 0, a, -f ß, ^ 0, . . . (mod. p)), 

 die ihrerseits irreductibel sind. 

 Hätte man eine Zerlegung 



f(z) = (zl^ + a^zl^-i + a,zl"-2 + . . -j- a^,) 

 . (z^ -f b,z^-i + b,z^--^ + . . + bj, 



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