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ist ; denn alle übrigen Glieder der linken Seite enthalten p-. 

 Man hat also die beiden Resultate 



(a,,b,_.^_,) + (ß,,aj,__^_j) = 0, 

 (a,,b,_,_,) (ß,aj,_^_^) = (mod. p) 

 und deshalb sind beide Klammern durch p theilbar, und also 



^|A X 1 ^^ ^'iJL X 1 P? "^V X 1 Pv X 1 Pj 



womit unsere Behauptung" bewiesen ist. 



Diese Schlussfolgerung kann man so lange fortsetzen bis 

 man zu einem Gliede der Reihen 



aj,_x_,, b,_ x-i (^ = 0, 1, 2, . . .) 

 kommt, dessen Index = o ist. Bei ungleiclien ix, v geschieht 

 dies nur für ein a oder ein b und dann tritt ein Widerspruch 

 durch ao = 1 bezw, bo = 1 gegen das Resultat der Theilbarkeit 

 durch p heraus. Ist aber |j. = v, dann versagen unsere Schlüsse 

 bei X = V 4- 1, weil dann die zweite der Gleichungen in aobo = 1 

 übergeht. Hier ist also eine Zerlegung denkbar, und diese kann 

 in der That eintreten, wenn die im Theorem angeführten Be- 

 dingungen erfüllt sind. Als Beispiel möge für p == 5 

 (z2 + 5z + 10) (z'2 + 20z + 15) = z* 4- 25z-'' + 125z2 



+ 275 z + 150 

 dienen. — 



Nach derselben Richtung hin lassen sich beliebig viele weitere 

 Sätze ableiten. Der nächste dieser Reihe lautet: Sind alle 

 Coefficienten von f(z) durch die dritte Potenz einer 

 Primzahl p theilbar, Cn aber durch keine höhere Po- 

 tenz von p, so kann f nur dann zerlegbar sein, wenn 

 die Gradzahl n durch 3 theilbar =■ 3v und 

 f(z) = (z-^ + ajpz'^^- ' + ... + a^pz^ + a^^^p^zV-i _[- 



• • • + «.2vP')-(z^ + ßaPZ + • • • + ßvP) 

 ist. Die a, ß müssen dabei noch einer Reihe von Con- 

 gruenzbedingungen mod. p und mod. p^ unterworfen 

 werden. 



Zuerst ist es klar, dass a„ . b^ = Cn ^ o (mod. p-^) nur so 

 befriedigt werden kann, dass eine der beiden Grössen a„, b^ den 

 Factor p-^ enthält, oder dass die eine, etwa a„ durch p''^, die andere 

 b^ durch p theilbar ist. Der erste Fall führt auf dem, beim 

 Eisen st ein 'sehen Satze einzuschlagenden Wege zur Erkenntniss 

 der Existenz eines Widerspruches. Es bleibt also nur 



