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und hieniiit coiiibiiiiren wir (10). In (lOj sind alle mittleren 

 Glieder durch p- theilbar, also auch die Summe der beiden äusseren, 

 d. h. es wird 



(ß,x«;L x) + («ix^v-x) = (mod. p), 

 und hieraus, in Verbindung mit (14) ergeben sich weitere Theile 

 der Behauptung, nämlich 



a,i-x = «J.-/P = «i,.-xl>''; 

 \^^ = ßv__xP- 

 Der noch fehlende Theil der Behauptung folgt jetzt ohne Weiteres 

 aus (1 2) ; denn wenn man die bisherigen Resultate einträgt, sieht 

 man, dass jedes auf das erste folgende Glied durch p'^ theilbar 

 ist. Folglich muss auch das erste durch p- oder 



aj, _ o ^ _ 1 ß , also auch a^, _ , ., _ ^ 

 durch p theilbar sein. 



Damit ist die Behauptung völlig bewiesen. 



Wir haben nun zu untersuchen, wie weit diese Schlussfolge- 

 rungen tragen , d. h. wie weit die Eeihe (9) fortgesetzt Averden 

 kann. Ist zuerst |x > 2v, dann nehmen wir x = v und stossen 

 auf den Widerspruch, dass b^ = 1 durch p theilbar sein müsste, 

 ist zweitens |x < 2v; n = 2m, dann nehmen Avir x = m, und 

 aus (11) und (13) folgt der Widerspruch, dass a„ = 1 durch p 

 theilbar sein müsste. Bei n < 2v und |j. = 2 m -[- 1? ^ = iii 

 wird der Widerspruch durch (12) aufgedeckt. In all diesen Fällen 

 ist also keine Zerlegung möglich. Es sei endlich n = 2v; x = v 



^•2v =" "2vP"5 ^V + 1 ^= "v+lP'5 



(15) b, = ß,p, bj = ßip; 



^v = «V P? a^ = a'i p. 



Dann fällt beim weiteren Fortschreiten (18) weg; denn dasselbe 

 geht in a„l)„ = 1 über , und dadurch werden weitere Schlüsse 

 unmöglich gemacht, und ein Widerspruch lässt sich nicht auffinden. 

 In der That ist auch hier wirklich eine Zerlegung in gewissen 

 Fällen möglich ; die Factoren haben Coefficienten von der in (15) 

 abgeleiteten, im Ausspruche des Theorems angegebenen Beschaffen- 

 heit. Als Beispiel möge dienen 

 z3 _^ p3z-2 _|_ p4z ^ p3(p-> — 1) = (zi -f pz + p'^)(z + p=^ — p). 

 Für die Theilbarkeit aller Coefficienten c durch p^ lässt 

 sich genau ebenso das entsprechende Theorem ableiten, und der 

 Beweis bietet hier ebenso wenig wie bei höheren Potenzen von 



