15] Zur Funktionen- und Invariantentheorie der binomischen Gebilde. 293 
Das sind 
dıe recurrenten Differentialeleichungen der Schwesterformen: 
( du, 
j “ en y . = — ul 5 = 
(n—») u,ı, —=Ww, + vru,_ 1; W —1, u 0; u, — day 
dv, 
—v) v, — DEV, 1: u =—=g Bo — = 
(12.) | (h—2) v,+1 u 7 doy 
dw, 
| (k—) w,yı =Ww, tr vw, 1, W—Y ee des; 
welche für die Funktionen- und Invariantentheorie auf unserem algebraischen 
Gebilde von ganz hervorragender Bedeutung sind. Besonders wichtig sind die 
Gleichungen für die «, denn sie ergeben: R—1) » —=r und W„+nru,_,—0, 
woraus wir eine fundamentale Differentialgleichung für 7 ableiten werden. 
Die Gleichungen (12.) für die « sind Analogien zu den Rekursionsformeln, 
welche Clebsch,') dessen Untersuchungen über die typische Darstellung 
von Covarianten dem vorangegangenen Abschnitte zum Vorbilde dienten, 
für seine „assoziirten* Formen abgeleitet hat. Dividirt man die von Clebsch 
angegebenen Rekursionsgleichungen') durch solche Potenzen von s— / fix, |x,), 
dass sie in z,, ©, zur Ordnung null homogen werden, so gehen sie nach 
einer leichten Umformung in die Gleichungen (12.): R—») u,_, = uw, + vru,_; 
über, nur dass unseren Variabeln x, 2, bei Clebsch - = entspricht. 
Auf diesem Wege wurde die Formel (r—») u, = w,+ vru,_, zuerst von 
Herrn Christoffel erhalten, welcher dieselbe auch in einer Vorlesung mit- 
getheilt hat. Der oben eimgeschlagene Weg führt jedoch kürzer zum Ziel 
und zwar auch bei den » und we, für welche bisher keine Rekursionsformeln 
vorhanden waren. Zur Erleichterung der folgenden Rechnungen empfiehlt 
es sich, statt der Grössen %,, ?,, @,,... einzuführen: 
n! h' P k! 
(dep) BU — en a — Bern v,, W, = ): Moos 
wo U = 1,0, 0, Una DY)wm—ne hu 9, 
1) Algebra der binären Formen, $ 83 am Ende. 
