[17] Zur Funktionen- und Invariantentheorie der binomischen Gebilde, 295 
U,+1, Pn+ı,... die Differentialausdrücke, die man durch wiederholte An- 
wendung von (14.) erhält, so folgt: 
’ n—1 2 n—2 mn h k E 
Die Formen T = a (aa‘) a, a, und P=9,, v—=u, genügen 
auf a, —1 den Differentialoleichungen'): 
(17.) HI, MıuıW—0,..., 
wo die linken Seiten nach (14.) oder (15.) und (16.) zu berechnen sind. 
. pp . . . Dee . . . BU 
Diese Differentialgleichungen sind für die Funktionentheorie auf «,—1 von 
grosser Bedeutung und stehen mit fast allen invariantentheoretisch wichtigen 
Differentialgleichungen in imniger Beziehung. 
S4. 
Ueber einwerthige Lösungen der Differentialgleichungen 
U,+1 G)—0, Phrı (9) —I. 
Es giebt eine ganze Reihe von Fällen, in denen die Differential- 
gleichung Un+ı Od = 0 die Grösse 7 als einwerthige Funktion von ® 
definirt. 
I. Fall. n—3. Die zu a’ —1 gehörige Differentialgleichung U) — 0. 
Nach $ 3, (15.) ist in diesem Falle: 
1.) "+30. 
Offenbar ist 7’ ein integrirender Faktor dieser Gleichung und 
(2.) t'? + 273 — const. 
Diese Constante muss mit der einzigen Invariante von @°, nämlich der Dis- 
kriminante 
R = (ayd3 — 4,43)? — 4 (aya, — a?) (a,d3 -— 32) = Us? + 4 u,3 
[efr. $ 2, (10.)] bis auf einen Zahlenfaktor identisch sein; nun ist 
u; — : U;, = > U,, also: 
;u+ 6 U - («2 + 27°), in Uebereinstimmung mit (2.) daher 
1) Für A—=1 und 2 hat die Gleichungen V,(p) = 0 bezw. V,(Y) zuerst Herr 
Christoffel gefunden, jedoch auf ganz anderem Wege. 
Nova Acta LXXIV. Nr. 2. 38 
