310 J. Wellstein, [32] 
Mithin genügen die 7 den rekurrenten Differentialgleichungen 
d a) d r®) 
r) zuge N R« (m) +(m) en CE 
(18) h v+1 des; en a day 
N 
| 5 ee dl un (m) 
|? 3... - — use 
Lässt man x, x, mit Z,, t, zusammenfallen, so wird 3—0, 5 —1, 06—0 
» 
also nach (17.): 1 — 9, und wegen (18.): 70” —o. Die Differentialgleich- 
ungen der 7”) stimmen demnach mit denen der vu der Nummer (14.) in 
der Form und den Anfangsbedingungen überein, folglich ist 79 — u. 
Beachtet man noch, dass m nur als ganze Zahl vorausgesetzt war, natürlich 
als reelle, so ergiebt sich der Satz: 
Für positives und negatives ganzzahliges m gilt für 2 Mm als Function 
von a,,%, ın der Umgebung von t, t, die Reihenentwicklung 
oo um) pe 
’ 3. 5“ v I {= S 5 
Ag). at, ae: sm —_ N ar Er = m—0,+1, +2... 
vo >2 
deren Entwicklungscoefficienten durch die Differentialgleichungen (14.) oder 
die Tabelle (15.) definirt sind. 
Die aus der typischen Darstellung von a abgeleitete Formel (16.) 
ist dann nur ein besonderer Fall dieser allgemeinen Entwicklung. Diese 
merkwürdige Reihenentwicklung wird uns in einer später folgenden Unter- 
suchung ein ausgezeichnetes System von Integranden erster Gattung liefern. 
Die 00” waren ursprünglich definirt als die zur Form m'= Ordnung F 
gehörigen Schwesterformen, wenn F entweder eine positive ganze Potenz 
von f, oder f eine solche von F ist. 
Im ersteren Falle ist aber nach $ 3 (17.) stets De 0 damals- 
dann F=f oder f? oder f? oder..., so folgt: 
Ist f=1 irreducibel, so ist: 
(20) U) 0,0 0 u, 
Im zweiten Falle dagegen, wo » ein Vielfaches von m ist, hat man 
nach $ 3, (17.) ebenfalls U en —0, aber nach (14.) dieses $ nun auch et) 
u), =0,..., sodass also: 5 
