318 J. Wellstein, [40] 
Funktion mit letzteren Eigenschaften eine Covariante. Eine Invariante 
; : d 
genügt ausserdem noch der Gleichung il: 
t 
Sei jetzt Ila,, 9, %,... | %ı, 22) eine in den Variabeln 21, 2, geschriebene 
Covariante unserer Stammformen, so ist nach $ 2, (10.), wenn g das Gewicht 
bezeichnet, 
Il(a,, P,, dyy... | %, )—= (19 IKu,, %,, WW... | Sı, 82). 
Obwohl also die einzelnen Glieder des rechts stehenden Ausdruckes 
die Veränderlichen 4, t, enthalten, so ist derselbe dennoch von &, &, oder 
was dasselbe ist, von © — — /(fdt) unabhängig. Sei jetzt umgekehrt 
II@u,, ®,, %y,...| 81, &) eine beliebige von ©; unabhängige Funktion der 
4,0,%,...,$,&. Wir lassen ı, % mit ©, 2. zusammenfallen und bezeichnen 
die Formen, welche alsdann aus %,, ®,, ®@,,... entstehen, mit %,(), ®,(@), 
w,(@),..., erstere ebenso mit %,(d, v,(, w,@). Dann wird ı =1, 3—=0 und 
IKu,, v,, w,,...| 51, &) = Hu,(@), v,(@), w,(@),...|1 0, giltig wenn 4" —1, a,"—1. 
Damit also 7 eine Covariante sei, muss es in seiner rechts stehenden Dar- 
stellungsform einfach den Bedingungen des Satzes (6.) genügen, nur, dass 
die v,(®, v,&... von (6.) mit u,(@), v,(@),... vertauscht sind, d.h. 
(7.) Jede ganze Form U mit den Coefficienten U,, d,, Wy,... und den 
Variabeln 51, $, deren Leitghied in den U,, v,, W,,... 2sobar und homogen 
(bei numerischen Coefficienten) ist, ist stets und nur dann eine Covariante 
wenn Sie von % — — IN (tdt) unabhängig, also Z —()) a 
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Diese merkwürdig einfachen Bedingungen sind äquivalent mit den 
Cayley-Aronhold’schen Differentialgleichungen. Ist nämlich allgemein 
I 77T I(u,, V,, W,, ... | Sı, 5) 
irgend eine Funktion der %, ®,...,Sı,&, und nur durch diese von 4, & ab- 
hängig ist, so ist‘) 
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also nach $ 3, (7.) und (12.): 
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v—2 v—2 
1) Mit Rücksicht auf u, —1, u, =. 
