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des $ 3, (17.), deren Bedeutung für die Invariantentheorie wir weiter unter- 
suchen wollen. Man übersieht ohne Weiteres: 
(1). Jede Invariante von a" liefert, durch t, x, ı",..., ıR) dargestellt 
[$ 5, (1.)], eine Integratgleichung von Un @) — 9. 
(2.) Jede Syzygie der Imvarianten und Covarianten von f ist eine Inte- 
gralgleichung von Un+ı = 9, wenn man die darın vorkommenden Co- 
varianten durch 7, U, 1", ,. , RD, die Invarianten aber durch die Coeffi- 
cıienten von f ausdrückt. 
Würde man auch die Invarianten der Syzygie durch r, ?‘, 7“, ..., a) 
darstellen, so müssten sich alle Glieder identisch fortheben, da unter Voraus- 
setzung allgemeiner Coeffieienten von f zwischen den 7, t‘, 7“, .. , 72) keine 
isobare, d. h. [nach $ 6, (16.)] invariante Beziehung bestehen kann. Für die 
Differentialgleichung Yr+ı (9) = 09 gelten ganz ähnlich lautende Sätze. 
Sind die Coeffieienten von f nicht speciell gewählt, so hat f stets 
(» —2) Invarianten, zwischen denen keine rationale Beziehung besteht. Stellt 
man nun diese Invarianten A, R,..., Jn—2 mittelst 7, 7‘, ..., ”2 dar [8 5, (1.)], 
so kann man aus diesen » — 2 Gleichungen 7“, 7“,..., ”2 eliminiren und 
erhält dann eine Gleichung zwischen z, 7’ und I, J,..., Jun, d.h. 
(3.) Die Gleichung Un+ı (r) kann mit Hilfe der Imvariantentheorie so 
oft integrirt werden, dass die resultirende Integralgleichung 
F(t, «| J,, JS, Be) In) = 
nur noch von der ersten Ordnung tst. 
Sie wird aber i. A. nicht linear sein. Diese Gleichung F= 0 kann 
in gewissem Sinne als eine Normalform der Grundgleichung &” gelten, 
indem sie nur von den Imvarianten von f abhängt und als Definitions- 
gleichung der Klasse f—=1 dienen kann. Man hat dann 
(4.) Dy — fs1 dr, 
dt 
wo F(z, s| I, I,.:, In) = I, also: $s— Fa 
Die Differentialgleichung Unzı = 9 1st also mit algebraischen Hilfs- 
nultteln nach der willkürlichen Veränderlichen ©; auflösbar. 
Diese Normalform des algebraischen Gebildes f=1 ist aufs engste 
verwandt mit derjenigen, welche Christoffel für die allgemeinen al- 
