[45] Zur Funktionen- und Invariantentheorie der binomischen Gebilde. 323 
gebraischen Klassen angegeben hat,') ohne jedoch damit identisch zu sein. 
Indessen könnte man eine Reihe von Resultaten der Christoffel’schen 
Arbeit auf die Gleichung F = 0 übertragen. So übersieht man z. B., dass 
die Gleichung F = 0, nach Potenzen von s entwickelt, die erste Potenz 
von s nicht enthalten wird.’) — Die allgemeine Lösung von Ur Od —0 
ergiebt sich aus der besonderen (4.) offenbar, wenn man in der Gleichung 
F=0 die Grössen J,J,... „3 unbestimmt lässt und berücksichtigt, dass 
© noch eine willkürliche Integrationskonstante enthält. 
Eine eigenartige Definition der Invarianten von f erhält man ver- 
möge $ 6, (6.) und (16.) durch Umkehrung des Satzes $ 6, (17): 
(d.) Feder in z, t', 1“,..., {R2) zsodare ganzrationale Ausdruck, welcher 
n—2 e 
»r Gleic PINS en re NER 
der Gleichung ze) 36) 9 genügt, ist eine Invariante. 
v—U 
Ebenso lässt sich $ 6 (18.) umkehren. So erhalten wir demnach die 
Invarianten von f bald als Integrationskonstanten der Differentialgleichung 
n—2 
7 5 ER . Ex See, 
U„,+1 (©) = 0, bald als isobare Lösungen der Gleichung (5.): V' +) 
v—() 
schliesslich auch, wie wir nun zeigen wollen, als integrirende Faktoren 
ö 
- — —0; 
de) 
von U„+1 (7) —— 0. 
Ist nämlich & irgend eine in den Variabeln £, , geschriebene oder 
mittels U,, U,,..., U„ dargestellte Covariante von f, so ist: 
dd Dee om od L 
do; >> DU, Un z I oe T >> 27, 2 DEU 
v—2 De) v—ı 
0 7 a \ 
4 ou, . Un+ı +2 (U,, Ur 2 UM F 
E - R h E IP n 
wo 2 das Glied U„+ı nicht enthält. Da U„ı1 =, so ist Er —2. Wenn 
man also eine beliebige Covariante 2 differenzirt, so bleibt schliesslich 
3B kur OD - 
U, ° U„+17 = 9 übrig; dann ist su, integrirender Faktor von Uy+1 = 9, 
und P?=®(U,, U,,..., U,) das Integral unter der Voraussetzung, dass 
1) E. B. Christoffel, Ueber die kanonische Form der Riemann’schen Integrale 
1. Gattung. Annali di Mat., Ser. 2, t. IX. 240-301. 
2) cfr. Raffy, Annales de l’Ecole Normale, Ser, 2, t° 12, (1883). 
