[49] Zur Funktionen- und Invariantentheorie der binomischen Gebilde. 327 
die Schwarz’sche Differentialinvariante‘) bedeutet, die den Ausgangspunkt 
der Sylvester’schen Reeiprokantentheorie?) bildet. Bekanntlich ist: 
das] 
(6.) Bi, — E [Yl», also 
Sr EkE IE role 
(79) 22 — [a = — #4 Lo]: — a 
dd 
Die bekannte Beziehung 
een re 
(8.) A — R ge: AR wenn (pg) # 0, 
lässt sich auf folgende einfache Weise ableiten: Die Grösse 5 — 2 hängt 
u Mer = I 
mit jeder analog gebildeten © —- = =: für welche («»)=#0, durch eine Sub- 
2 x 
mSsta 
mStq’ 
(aß) Ux — (up) ag (ua) Br | (@P) Hs — (vB) a. (we) By, 
woraus folet: 
stitution 1. Ordnung 9 = (pq) #9 zusammen, denn es ist: 
ae (uß) Se 
v. (vB) &— (ve) 
Umgekehrt liefert die Substitution 9= (9 °+4):9 +9), wenn 
> a’. 20 . . . 3 . 
man © 7; einsetzt, für © den Quotienten zweier Linearformen, und dabei 
ist (pgd) = — (uB) (ve) + (wa) (vB) = (ur) (aß) +9. 
Da nun 22 =[P],, so ist: 
(9.) 22 
[do = F ae a) , wenn p)-+ 9, 
womit auch (8.) bewiesen ist. 
Durch die Formel (9.) gewinnen wir Anschluss an die Gruppen- 
theorie, insbesondere an die Untersuchung von Lie über die „Alassofirkatıon 
und Integration von gewöhnlichen Differentialgleıchungen, die eine Gruppe von 
Transformationen gestatten, Math. Ann. 32, Seite 213 
nur verweisen wollen. Durch (7.) ist z als Reeiprokant definirt; die Formen- 
281, worauf wir hier 
reihe 2, 2‘, 2“,... ist also auf das Innigste verknüpft mit den Untersuchungen 
!) Journ. f. Math. 75, 300. Das Symbol [y]. stammt übrigens von Klein. 
2) Comptes rendus: (CI, p. 1042—1045, 1110—1111, 1225—1229, 1460— 1464. 
Nova Acta LXXIV. Nr. 2. a2 
