[61] Zur Funktionen- und Invariantentheorie der binomischen Gebilde. 339 
Rd 
(1%) 
h—1 
- ®) DS, 
er en one 
+ ...-+ — 
5 (72%) 2) 
2), 
9, = 9@) ( 
und daraus mittelst der Identität 
(DR ren) 0 N 
weiter: 
‚h—1 NR () _ a nel. a, 
hy, PE— y«) ui (rt) LT, — (zt) Ge ZZ 92) ul ( e) 
r Or Wi = 
S 
vergl. (4). Mithin gilt, ähnlich wie oben, der Satz: 
Liegen die Punkte &, % und tb, bı der Curve W—1 hinreichend nahe 
bei einander, so gilt die convergente Reihenentwicklung: 
s 5 
12) A. RE, 9. an u,= g" s(0) + 0 + se) +: N; 
S) > 
deren Entwicklungscoefficienten die Potenzsummen der h Wurzeln 91, 0», ..., 9% 
sind: 
(13.) SO = 0r +0» +...+ 09; Hl) — N. 
Diese beiden Reihenentwicklungen (10.) und (12.) vermitteln in höchst 
einfacher Weise den Zusammenhang zwischen der Invariantentheorie auf 
a — 1 und der Lehre von den symmetrischen Funktionen der Wurzeln einer 
Gleichung; man vergleiche besonders $ 1 der Theorie der binären Formen 
von Faa di Bruno — Walter; unsere Formel! (10.) ist die Bruno’sche 
Formel $ 1, (12.) in homogener Gestalt. Unsere Formel (12.) ist eine 
wesentliche Verallgemeinerung der Bruno’schen Formel $ 1, (46.), und 
überdies homogen in den Variabeln. 
Es erübrigt noch, für die Wurzeln & und e die Differentialgleichungen 
aufzustellen, denen sie als Funktionen von & = — /tdt) auf a? —=1 genügen. 
Aus (4.) und Satz (10.) stellen wir zusammen: 
T T 
e ih 
(14.) ee Sn 
um | 
(a) 
Als Funktionen von 4, & zeigen diese Grössen wesentlich gleiches 
Verhalten. Nun ist nach $ 3, (7.): 
s E n—1 : . 
— GE — ——$, = oa (aa)? ayn—?2 ayn—2, 
