342 J. Wellstein, [64] 
Denn jede Invariante von 9 lässt sich nach früheren Sätzen durch 
2%, %ı,..., vn ausdrücken, letztere Grössen sind, wie ein Vergleich von (5.) 
und (6.) zeigt, symmetrische Funktionen der e und als solche nach einem 
bekannten Satze der Algebra, rationale Funktionen der Potenzsummen; also 
sind alle Invarianten von 9, dividirt durch eine passende Potenz von 9, 
rationale Funktionen von sı (0), 52 (0), 53 (0), ... Die Division durch eine Potenz 
von 9 ist nöthig, weil man die », nach (5.) und (6.) in der Form 
h h—v X 
5)» =.) > 01 02... % 
erhält, wo Y die symmetrische Funktion bedeutet. Der Exponent jener 
Potenz ist offenbar gleich dem Gewichte der Invariante. Das giebt den 
bekannten Satz: 
Jede Invariante I von p ist darstellbar in der Form 
J— gt. funct. rat. (S} (0), 5, (0), - - -, 53 (0), 
wo A das Gewicht von I ist. 
Bezeichnet man diese rationale Funktion mit IZ, so ist: 
dI 
’ do 9 
DES EN oda 
Ar oo den ipdn ud do 
J=g4.N 0, also: 
(+) + ApHTl gt. I 
indem 2 die Grösse 9 explieite nicht enthält. Es ist also: 
2, ‚10 07 eg: 
) = Y 2 48 & 
0 DEE ran. tıel2., 
o o > 
Nach (7.) ist n — 5, (g); setzt man noch g*7 — J ein, so kommt: 
Sy 0 17 
zo en ee en 
0 f 
i 1 s Fe ze, : 
Da man in r=—-s() die e als willkürliche Veränderliche be- 
N 
trachten kann, so ist die vorstehende Identität nur dadurch möglich, dass 
das Glied mit 7 sich heraushebt. Dann ist einzeln: 
5: y 0J 4 x" e) 0J iR 14 
(22.) re % Er u. 
Das sind die bekannten Differentialgleichungen,') denen die Invarianten als 
1) Brioschi, Annali di Tortolini, Bd. V. 
