ö Max Brückner, 



gleichflächig oder beides zugleich, verdanken wir E. Hess, der in einer 

 längeren Reihe von Mitteilungen und Abhandlungen die Geometrie bezw. 

 Gestaltenlehre mit einer beträchtlichen Anzahl neuer Raumfiguren beschenkt 

 hat.^) Der Begriff des zugleich gleicheckigen und gleichflächigen Polyeders, 

 d. h. eines Vielflaches, das von lauter unter sich kongruenten oder symmetrisch- 

 gleichen Flächen begrenzt Avird und dessen Ecken sämtlich kongruent oder 

 symmetrisch (im Legendreschen Sinne) sind, ist eine Verallgemeinerung des 

 ursprünglichen Begriffes des regulären Polyeders, wobei lediglich von der 

 Regelmässigkeit der Grenzflächen und Ecken abgesehen wird. Setzt man 

 überdies voraus, dass die Flächen eines solchen Polyeders konvexe Viel- 

 ecke seien und dass die Gesamtoberfläche einen kontinuierlichen Zusammen- 

 hang besitzt, verlangt man ferner, dass keine überstumpfen Flächen wiukel 

 an dem Gebilde vorkommen, so ergeben sich nur neun solcher konvexer 

 gleicheckig-gleichflächiger Polyeder, von denen acht von E.Hess eingehend 

 beschrieben worden sind.'-) Unter Verzichtleistung auf die eben angeführten 

 Beschränkungen erhält man einerseits die nichtkonvexen, andererseits die 

 diskontinuierlichen gleicheckig-gleichflächigeu Polyeder, über die wir E. Hess 

 einige Angaben verdanken ; doch sind die mehrfach an verschiedenen Stellen 

 seiner Arbeiten von ihm angekündigten weiteren Ausführungen unterblieben. 

 Einer an mich im Jahre 1901 seinerseits brieflich ergangenen Aufforderung, 

 diese erweiterte Untersuchung fort- bezw. auszuführen, verdankt die folgende 

 Arbeit ihre Entstehung. Um ein Gesamtbild der Theorie der gleicheckig- 

 gleichflächigen Polyeder allgemein verständlich und für den Leser wenigstens 

 bis zu einem gewissen Grade unabhängig von den vorhergehenden Arbeiten 

 geben zu können, ist es nötig, eine Reihe allgemeiner Begrifle und Defini- 

 tionen, sowie eine Anzahl Sätze über die Polygone, Polyeder und ihre Ecken 

 überhaupt, voranzustellen. Das erscheint um so angezeigter, als wir ausser 

 den kurzen Angaben^) von Hess keine zusammenhängende Darstellung der 



') Über diese Abhandlungen und die mannigfacheu Untersuchungen anderer vergl. 

 M. Brückner, Vielecke und Vieltlache. Theorie und Geschichte. Leipzig 1900. Wir 

 eitleren dieses Bnch künftig kurz unter V. u. V. 



2) E. Hess, Ueber die zugleich gleicheckigen und gleichflächigen Polyeder. Cassel 

 1876; künftig kurz unter „Hess" citiert. 



^) In der Mitteilung: Ueber einige merkwürdige nichtkonvexe Polyeder. Marburger 

 Berichte. Januar 1877. Nr. 1. 



