12 Max Brückner, 



Schraffierung, kehrt also den positiven Sinn aller Strecken um, so sind 

 die neuen Umfangswinkel bei Beibehaltung des vorigen Drehsinns an jeder 

 Ecke die Ergänzung der vorigen zu 2jr. Die Summe aller Umfangswinkel 

 sei im ersten Falle C= a.2jr, im zweiten U' = a'.2n, wobei a und a' 

 jedesmal die Art des Polygons genannt wird. Dabei gilt wegen 

 JJ + U = n.2n die Relation : 



1) a + a' ^ n, 



d. h. die Summe der beiden Artzahlen eines ebenen Polygons 

 ist gleich der Zahl seiner Kanten. 



Innenwinkel (kurz: Winkel) des Polygons heisse derjenige, 

 um den eine Kante im positiven Sinne gedreht werden muss, 

 Tim mit der negativen Richtung der vorhergehenden Kante 

 zusammenzufallen. Ein Innenwinkel liegt stets auf der schraffierten 

 Seite des Perimeters, und ergänzt den Umfangswinkel derselben Ecke zu 

 jt oder 3x, je nachdem er kleiner oder grösser als ein gestreckter ist. 

 Ist J die Summe der Winkel eines Polygons, x die Zahl seiner überstumpfen 

 Innenwinkel, so ist: 



J -\- U ^= X . 3 Jr + (m — x)jt, 



und wegen r = « . 2 jt: J = [n + 2 (x — «)] jr. 



Hat man also J= q.x bestimmt,') so ergibt sich die Art des 



Polygons zu: 



n + 2x — q 



2) 



a = 



Ist X = 0, SO heisse das Polygon konvex, andernfalls nichtkonvex. 

 Für ein konvexes Polygon, das nur Zellen mit positiven Koeffizienten haben 

 kann, stimmt die Artzahl a mit dem höchsten Koeffizienten (der innersten 

 Zelle) überein, wenn im Innern ein Punkt existiert, dem sämtliche Kanten 

 ihr schraffiertes Ufer zuwenden, und sie bedeutet hier die Anzahl von Kreis- 

 bedeckungen bei Projektion des Perimeters auf die Peripherie eines das 

 Gesamtpolygon umschliessenden Kreises aus dessen in jener innersten Zelle 

 gelegenen Zentrums — . Bei Umkehrung der Schraffierung des Perimeters 



') Vergl. hierzu : V. u. V. S. 4 Nr. 5. 



