Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. lo 



n — 2x + q 

 erhält man, da J + J' = 2njc ist, q' = 2m — q, x' = ti — x, also er = ^ , 



d. h. wiederum: a + a' = w/) 



Vertauscht man also bei einem Polveder die Aussenseite mit der 



Innenseite der Oberfläche, d. h. kehrt den Sinn jeder Grenzfläche um, so 



ersetzt man die Art « jeder einzelnen Grenzfläche durch n — (i. — Die 



sämtlichen Betrachtungen gelten für diskontinuierliche Polygone ebenso wie 



fUr kontinuierliche. 



2. Von den Ecken eines Polyeders. Der Untersuchung der Ecken 

 eines beliebigen Polyeders muss dessen Definition vorangestellt werden. 

 Wir verstehen unter einem Polyeder schlechthin eine Reihe oder 

 mehrere Reihen von ebenen Polygonen, die im Räume derart 

 mit einander verbunden sind, dass je ein Polygon jede seiner 

 Kanten (Kanten des Polyeders) mit einem und nur einem anderen 

 Polygon gemein hat. Setzt man dabei voraus, dass alle Polygone so 

 mit einander verbunden werden können, dass man beim Fortschreiten von 

 der als oberen Seite festgesetzten Seite eines ersten Polygons über die 

 Kanten der Reihe nach nur auf Oberseiten aller übrigen Polygone gelangt,-) 

 so heisst das Polyeder zweiseitig. Für solche Polyeder gilt, dass man 

 nach Bezeichnung sämtlicher Ecken der Polygone diese so schreiben kann, 

 dass sämtliche Kanten des Polyeders zweimal, aber im entgegengesetzten 

 Sinne, auftreten: Möbiussches Kantengesetz. Gilt dieses Gesetz nicht, 

 so ist das Polyeder einseitig (Möbiussches Polyeder). Die weiteren 

 Definitionen und Sätze beziehen sich im allgemeinen nur auf zweiseitige 

 Polyeder. 



Unter einer Ecke eines Polyeders versteht man das Gesamt gebil de 

 der Flächen und Kanten in einem gemeinsamen Eckpunkte 

 mehrerer Polygone, deren die Ecke also mindestens drei besitzt. Be- 

 schreibt man um eine Ecke eines Polyeders eine Kugel (die die übrigen 

 Ecken ausschliesst) so bestimmen die Flächen der Ecke auf dieser ein 

 sphärisches Polygon, dessen Kanten im Winkel- bezw. Bogenmass 



•) Man kann also die Schraffierung immer so wählen, dass a <, — ist. 



-) Es ist natürlich nicht ausgeschlossen, dass man in negative Zellen der Ober- 

 seite gelangt. 



